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Centre National de l'Évaluation, des Examens et de l'Orientation Examen d’obten

Centre National de l'Évaluation, des Examens et de l'Orientation Examen d’obtention du Brevet de Technicien Supérieur Session Mai 2014 Page 1 3 Filières: DSI – SRI - MCW Durée: 2 Heures Épreuve: MATHÉMATIQUES Coefficient: 15 6 points Exercice 1: On considère la matrice : 7 2 4 1 A          . 0,5 1.a- Calculer les valeurs propres de A . 1 b- Déterminer une base de vecteurs propres de A . 1,5 2. En déduire qu’il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que 1 A PDP   , calculer 1 P . 1,5 3. Exprimer, pour tout entier naturel n , n A sous forme de tableau matriciel. 4. Soient   n n u  et   n n v  deux suites réelles définies par : 0 0 1 1 u v        et pour tout entier naturel n , 1 1 7 2 4 n n n n n n u u v v u v            0,5 a- On note n n n u X v          . Exprimer 1 n X  en fonction de A et de n X . 1 b- En déduire l’expression, pour tout entier naturel n , de n u et de n v en fonction de n . Examen d’obtention du Brevet de Technicien Supérieur - Session Mai 2014 Filières : DSI – SRI - MCW Épreuve: Mathématiques Page 2 3 6 points Exercice 2 : Considérons la série numérique 2 n n u   avec, pour tout entier naturel n :     1 1 n n n u n    et 0  1 1. a- Donner un équivalent simple de n u lorsque n tend vers . 0,5 b- Montrer que 2 n n u   est absolument convergente si et seulement si 2  . 2. Supposons que 1 . 1,5 a- Montrer qu’au voisinage de , on a :   1 3 3 2 2 2 1 1 1 2 n n u o n n n               . 0,5 b- Établir que   1 2 2 1 n n n    est une série convergente. (justifier votre réponse) 0,5 c- Quelle est la nature de la série numérique 3 2 2 1 n n   ? (justifier votre réponse) 0,5 d- En déduire la nature de la série numérique 2 n n u   . 1,5 3. Étudier la convergence de la série numérique :     2 2 1 1 n n n n     . 3 points Exercice 3 : 1+1 1. Montrer que les intégrales suivantes sont convergentes, calculer leurs valeurs : 2 0 x A x e dx      0 1 1 B dx x x     ( On peut poser : t x  ) 1 2. Déterminer la nature de l’intégrale suivante :   1 0 ln 1 x C dx x    . Examen d’obtention du Brevet de Technicien Supérieur - Session Mai 2014 Filières : DSI – SRI - MCW Épreuve: Mathématiques Page 3 3 5 points Exercice 4 : On admet que la probabilité qu’un voyageur oublie ses bagages dans le train est 0,005. Un train transporte 850 voyageurs. On admettra que ces voyageurs se sont regroupés au hasard et que leurs comportements, par rapport à leurs bagages, sont indépendants les uns des autres. On désigne par X la variable aléatoire réelle qui prend pour valeur le nombre de voyageurs ayant oublié leurs bagages dans le train. 1 1. a- Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? 1 b- Calculer l’espérance mathématique et la variance de X . 1 2. Montrer que la loi de probabilité de X peut être approchée par une loi de Poisson . dont on déterminera son paramètre . 3. En utilisant cette loi approchée, calculer la probabilité des événements suivants : 1 a- Aucun voyageur n’a oublié ses bagages. 1 b- Cinq voyageurs au moins ont oublié leurs bagages. Fin de l’épreuve uploads/Voyage/ sujet-dsi-sri-mcw-mai-2014.pdf