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Eléments du Cours de Mécanique Analytique Chapitre I Mohamed EL KACIMI Année un

Eléments du Cours de Mécanique Analytique Chapitre I Mohamed EL KACIMI Année universitaire 2013/2014 Mohamed.Elkacimi@cern.ch/elkacimi@uca.ma Laboratoire de Physique des Hautes Energies et d’Astrophysique 2013/2014 Chapitre 1 Formalisme de Lagrange 1.1 Introduction Le formalisme de la mécanique analytique n’apporte pas de nouveauté conceptuelle par rapport au formalisme de la dynamique Newtonienne. Tou- tefois, l’approche de la mécanique analytique constitue la formulation la mieux adaptée à de nombreux domaines de la physique moderne. Elle est à l’origine de la quantiﬁcation des dynamiques classiques et fournit nombre de concepts et d’outils mathématiques pour élaborer la mécanique quantique moderne. La mécanique analytique constitue un cadre bien adapté à la for- mulation des modèles des intéractions fondamentales de manière intuitive en se basant sur les théories de symétrie de Jauge , partant de l’intéraction éléctromagnétique et passant par les intéractions faibles et fortes. 1.2 Coordonnées généralisées L’approche standard de la mécanique newtonienne consiste à relier les quantités de mouvement des diverses particules aux forces qui en sont à l’ori- gine sous forme d’équations diﬀérentielles vectorielles de deuxième ordre. Les forces mises en jeu sont décrites soit par des lois fondamentales, dont celles de la force gravitationnelle et de la force éléctromagnétique, ..., soit par des lois phénoménologiques qui décrivent les forces de frottement. Rappelons que les forces de frottements consituent des eﬀets à l’échelle macroscopique des forces fondamentales. L’ensemble des équations diﬀérentielles dynamiques associées aux conditions initiales permettent de prédire complètement le mouvement. La résolution de ces équations restent en général fastidieuse lorsque des contraintes existent entre les positions ou bien entre les posi- 3 Formalisme de Lagrange tions et les vitesses. En eﬀet, la présence des forces de liaison où en général les forces de contact introduisent des dépendances entre les variables qui décrivent le système. Aussi, si le système est formé par N particules, en rai- son des contraintes, les 3N coordonnées qui décrivent le système ne sont plus indépendantes entre elles. De plus, les forces à l’origine des contraintes sont mal connues et de ce fait introduisent à leurs tours de nouvelles incon- nues liées à leurs valeurs. L’idée de base de la mécanique analytique est d’éliminer les forces inconnues et de ne décrire le système que par des coordonnées qui sont indépendantes et qui ne sont soumises à aucune contrainte. Ces coordonnées s’appellent les coordonnées généralisées. Elles sont de nature arbitraire et peuvent être une longeur, un angle, ... cependant ces coordonnées décrivent de manière univoque l’état mécanique du système si l’on prend en compte les contraintes. Pour se ﬁxer les idées, prenons l’exemple du double pendule, ﬁgure 1.1. En principe le système est décrit par 6 coordonnées, 3 coordonnées pour chacun des pendules. Or, — les ﬁls sont de longueur ﬁxe, ce qui engendre deux contraintes, chacune sur les coordonnées d’un pendule − − → OM1 = l1 − − − → M1M2 = l2; — le mouvement doit avoir lieu sur un plan, ce qui rajoute deux contraintes supplémentaires, chacune sur un pendule. g 1 θ 1 l 1 M 2 θ 2 l 2 M Figure 1.1 – Deux pendules liés astreints à se déplacer sur le même plan. Les angles θ1 et θ2 suﬃsent pour décrire le mouvement du système. Mohamed.Elkacimi@cern.ch/elkacimi@uca.ma Laboratoire de Physique des Hautes Energies et d’Astrophysique 2013/2014 1.2 Coordonnées généralisées 5 D’où le mouvement du système peut être décrit seulement par deux coor- données au lieu de six. Le choix tout à fait naturel est constitué par les deux angles repérant les rotations des deux pendules. L’idée est de réexprimer les lois qui régissent le mouvement du système non pas avec les coordonnées habituelles mais en fonction des coordonnées généralisées. Si l’on est en présence de k contraintes, le nombre de coor- données indépendantes est égal à n = 3N −k. Ces n coordonnées, que l’on appelle les coordonnées généralisées, sont noteés qi, i = 1, · · · , n. On dit que le système possède n degrés de liberté. Chacune des coordonnées généralisées est identiﬁée à un degré de liberté. Aussi, il s’agit d’identiﬁer les coordonnées généralisées, ⃗ ri = ⃗ ri(q1, ..., qn, t), et de les utiliser pour la decription du système. Revenons aux contraintes. Rappelons que généralement quand on résoud un problème, on est intéressé par la solution du mouvement et non par la connaissance des forces de laison qui sont à l’origine des contraintes sur les coordonnées. La mécanique analytique permet d’établir les équations du mouvement en éliminant les forces de liaison, comme on le verra par la suite, et fournit les outils nécessaires pour déterminer les forces de contact. Nous allons donner quelques déﬁnitions des contraintes que nous utilise- rons dans la suite de ce cours. 1.2.1 Contraintes et déﬁnitions On appelle contrainte holonome toute contrainte vériﬁant la forme f(⃗ r1, ...,⃗ rN, t) = 0 diﬀérentiable en tout point. On distingue deux classes de contraintes ho- lonomes. Les contraintes sont dites scléronomes si elles ne dépendent pas explicitement du temps. Dans le cas contraire, elles sont dites rhéonomes. Notons que dans le cas du double pendule, étant donné que la longueur des ﬁls est constante, et comme la contrainte est imposée c’est la longueur du ﬁl, alors elles est cléronome. La physique moderne est essentiellement sub-atomique et l’on est rarement Mohamed.Elkacimi@cern.ch/elkacimi@uca.ma Laboratoire de Physique des Hautes Energies et d’Astrophysique 2013/2014 Formalisme de Lagrange confronté aux contraintes et quand elles apparaissent dans un problème, elles sont holonomes. 1.3 Equations de Lagrange Comme c’est indiqué dans le paragraphe précédent, il s’agit de décrire la dynamique du système avec les coordonnées généralisées. Pour ce faire, il est indispensable d’établir les équations auxquelles les variables générali- sées sont soumises et ceci est réalisé à l’aide de la fonction de Lagrange que l’on appelle le lagrangien, notée L(qi, ˙ qi, t), et qui est homogène à une énergie. Nous allons présenter les équations de Lagrange en utilisant deux approches. L’une d’elles est basée sur le principe de moindre action, qui est un forma- lisme sous-tendu par les chemins d’intégrale. Une deuxième approche dérivée des lois fondamentales de la dynamique fera l’objet de ce paragraphe. Dans la suite, nous adopterons les indices grecs α pour énumérer les par- ticules qui composent le système et les indices romains pour énumérer les coordonnées généralisés. Les forces de liaison seront notées ⃗ Fl et les forces extérieures par ⃗ Fe. 1.3.1 Principe de moindre action On postule qu’il existe une fonction L(qi, ˙ qi, t) telle que l’action, déﬁnie, par S = Z t2 t1 L(qi, ˙ qi, t)dt, est extremale pour la trajectoire empruntée eﬀectivement par le système entre les instants t1 à t2 dont les coordonnées généralisées respectives sont qi(t1) et qi(t2), valeurs de départ et d’arrivée de la trajectoire. Il est très important de remarquer que ce qui est stipulé ne sont pas des équations diﬀérentielles sur les variables dynamiques du système, comme c’est le cas du principe fondamental de la dynamique, mais un principe va- riationnel qui postule le caractère extrémale d’une intégrale calculée sur la trajectoire. Mohamed.Elkacimi@cern.ch/elkacimi@uca.ma Laboratoire de Physique des Hautes Energies et d’Astrophysique 2013/2014 1.3 Equations de Lagrange 7 Un autre exemple du principe variationnel utilisé en physique est celui de Fermat qui sous tend les lois de l’optique géométrique et qui stipule que le rayon lumineux emprunte toujours le trajet ayant un temps de parcours extremal, minimal dans ce cas ci. Notons que la fonction de Lagrange ne dépend que des coordonnées gé- néralisées et leurs premières dérivées car les équations fondamentales de la dynamique sont de second ordre. 1.3.2 Théorème de d’Alembert Ce théorème permettra de déduire les équations de Lagrange à l’aide du principe fondamental de la dynamique en introduisant la notion de déplace- ment virtuel. Théorème Lors d’un déplacement virtuel, le travail des forces de liaison est nul. Notons qu’un déplacement virtuel correspond à un déplacement de chaque vecteur position ⃗ ri d’une quantité δ⃗ ri à un instant t donné. Alors qu’un dé- placement réel d⃗ r met en jeu une translation correspondante dans le temps. Ce théorème stipule donc que les déplacements virtuels sont ceux pour lesquels les forces de liaisons n’engendrent aucun travail et n’aﬀecte donc pas l’énergie du système. Si les contraintes ne dépendent pas du temps alors les déplacements virtuels coincident avec les déplacements réels. Prenons quelques exemples : Pendule simple : le ﬁl est inextensible. Lors des oscillations du pendule la tension du ﬁl ⃗ T ne travaille pas. Le déplacement virtuel coincide avec le déplacement réel. Boule : une boule qui roule sans glisser. La force de liaison qui l’empêche de glisser est perpendiculaire au plan de roulement. Aussi, le travail de cette force est nul. Calculons le travail des forces le long d’un déplacement virtuel, que l’on appelle le travail virtuel, δW = X α (⃗ Fe,α + ⃗ Fl,α) · δ⃗ rα = X α ⃗ Fe,α · δ⃗ rα. Mohamed.Elkacimi@cern.ch/elkacimi@uca.ma Laboratoire de Physique des Hautes Energies et d’Astrophysique 2013/2014 Formalisme de Lagrange Or le déplacement virtuel peut s’exprimer comme suit δ⃗ rα = X uploads/Voyage/ manuscrit.pdf