0.1. TORSION D'UNE POUTRE DE SECTION ELLIPTIQUE 1 Epreuve de contrôle continu :
0.1. TORSION D'UNE POUTRE DE SECTION ELLIPTIQUE 1 Epreuve de contrôle continu : MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Licence L3 - Sciences pour l'Ingénieur - GCGEO Génie Civil & Géosciences Université Paul Sabatier - UPS Toulouse 3 UPSSITECH - CC - 2016 Durée : 2h Il ne sera répondu à aucune question en cours d'épreuve. La qualité de la rédaction (clarté, respect de la langue Française, soin, explications, dé nitions, schémas, systèmes d'axes, etc...) sera grandement prise en compte. Aucun document autorisé. 0.1 Torsion d'une poutre de section elliptique On considère une poutre orientée par l'axe Ox de longueur L, de section elliptique de rayons a et b respectivement dans les directions orthogonales y et z. Cette poutre est encastrée dans sa section initiale et est soumise à un couple axial C− → x à l'autre extrémité, à l'exclusion de tout autre eort. On considèrera donc que la poutre est soumise à une sollicitation de torsion pure. Loin de la zone d'encastrement et de la zone terminale, selon l'hypothèse de Saint-Venant, le champ de contrainte est dé ni par le tenseur contrainte σ indépendant de la variable x (il est quali é de uniforme selon x) de la forme : σ = 0 σxy (y, z) σxz (y, z) · · · 0 0 · · · · · · 0 {xyz} On admettra que les composantes de contraintes de ce tenseur dérivent d'une fonction ϕ (y, z) dite fonction de Prandtl (ou fonction de torsion) ayant la particularité d'être nulle sur le contour extérieur du plan de section droite (Σ). Dans le cas présent, cette fonction a pour expression : ϕ (y, z) = k 1 − y a 2 − z b 2 où k est une constante positive à déterminer et ϕ telle que : σxy = ∂ϕ ∂z σxz = −∂ϕ ∂y 1. Quelle est l'équation f (y, z) = 0 à un facteur multiplicatif près du contour elliptique (∂Σ) du plan de section droite (Σ) ? 2. Calculer les contraintes σxy et σxz. Préciser la valeur du tenseur des contraintes. Préciser ce qu'est le vecteur contrainte − → T (P, − → x ) agissant au point P du plan de section droite (Σ) orienté par le vecteur − → x . En faire une représentation graphique en un point P quelconque de (Σ). Comment quali er ces composantes de contrainte ? Quelle est la dimension de la constante k ? 2 3. Les équations de l'équilibre local sont-elles satisfaites ? 4. Les conditions aux limites de la poutre, sur sa surface latérale (ΣL) sont-elles satisfaites ? on notera que la surface latérale est générée par la translation du contour de section droite dans la direction x. 5. On considère le point Q du plan de section droite (Σ) situé sur le bord (∂Σ). Démontrer que le vecteur contrainte agissant sur la facette orientée par − → x est parallèle au contour (∂Σ). Expliquer physiquement pourquoi on obtient ce résultat. 6. Désignant par τ (P) l'intensité du vecteur contrainte agissant sur le plan de section droite (Σ) en un point P quelconque. Calculer cette intensité. Quelle est la valeur maximale τmax ? Où se développe-t-elle ? pour cette question on pourra supposer que a > b. 7. Que vaut la résultante − → r produite par les contraintes agissant sur le plan de section droite (Σ) ? on montrera que cette résultante est nulle. 8. Que vaut le moment − → m produit en G par les contraintes agissant sur le plan de section droite (Σ) ? on montrera que ce moment est porté par l'axe x − → m = m− → x et que m = kπab. 9. Par l'équilibre statique du tronçon de poutre délimité par la section droite (Σ) et la section terminale, prouver que m = C et déduire la valeur de k. 10. Quelle est la trace du tenseur contrainte ? Par application de la loi de Hooke, déterminer le tenseur des déformations ε. On utilisera la notation G = E 2 (1 + ν). 11. On suppose que le champ de déplacement s'écrit de la façon suivante : − → u (P) = u (y, z) − → x + αx− → x ∧(y− → y + z− → z ) où la fonction u (y, z) est la fonction de gauchissement et la quantité α une constante appelée taux de rotation axial . Quel est le champ de déformation ε (x, y, z) dérivant de ce champ de déplacement ? 12. Identi er les deux formes obtenues aux questions 10 et 11 pour le tenseur des déformations ε et déduire le taux de rotation α en fonction de k. 13. L'inertie de torsion J du pro l elliptique est dé nie par la relation C = GJα. Déterminer J en termes de a et b. En préciser l'équation aux dimensions. Y a-t-il confusion entre l'inertie de rotation et l'inertie polaire ? 14. On admettra que u (0, 0) = 0. Que vaut la fonction de gauchissement ? Que se passe-t-il si la section est circulaire ? ANNEXE - calcul d'une intégrale double (rappel de maths L1/L2) Figure 0.1.1 schéma de calcul d'une intégrale double en coordonnées cartésiennes Soit à calculer l'intégrale double de la fonction g (y, z) étendue à une portion (Σ) du plan {yz} délimitée par le contour fermé (∂Σ). Cette intégrale est notée : J = ¨ (Σ) g (y, z) · dΣ 0.1. TORSION D'UNE POUTRE DE SECTION ELLIPTIQUE 3 où dΣ désigne un élément in nitésimal d'aire qu'en coordonnées cartésiennes, on décompose en : dΣ = dz · dy En pratique, l'intégrale double est transformée en double somme pour les besoins du calcul. Pour cela on décompose (Σ) en bandelettes parallèles à l'axe z et de hauteur dy. Une telle bandelette balaie la totalité de l'aire (Σ) lorsque sa côte y varie entre la valeur minimale ymin et la valeur maximale ymax. A noter que la bandelette dont la côte est y s'étend depuis z1 (y) jusqu'à z2 (y), les bornes z1 et z2 dépendant de y selon la forme du contour (∂Σ). Chaque bandelette est, à son tour, décomposée en petits tronçons de longueur dz pour former les éléments d'aire dΣ. La double somme consiste donc (a) à eectuer une somme sur une bandelette située à la côte y puis (b) à sommer le résultat précédent sur l'ensemble des bandelettes. On obtient ainsi une double intégrale : J = ymax ˆ ymin z2(y) ˆ z1(y) g (y, z) · dz · dy A noter que le découpage en bandelettes aurait pu tout aussi bien être réalisé parallèlement à l'axe y. D'autres découpages sont possibles. E.Ringot - UPS Tlse3 - UPSSITECH L3 GCGEO - MMC - 2016 contrôle continu uploads/Voyage/ 2016-cc-gcgeo.pdf
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- Publié le Aoû 18, 2022
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