Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation s

Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation sans contrainte Optimisation avec contraintes de type égalité Optimisation avec contraintes de type inégalité Optimisation sans derivées Optimisation Numérique (Notes provisoires destinées exclusivement aux étudiants de l’UNH) 3 crédits (45 heures) Jean TSHIMANGA Ilunga Université Nouveaux Horizons, Lubumbashi, RDC 3 juillet 2020 1 / 80 Jean TSHIMANGA Ilunga Optimisation Numérique Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation sans contrainte Optimisation avec contraintes de type égalité Optimisation avec contraintes de type inégalité Optimisation sans derivées Sommaire 1 Présentation du cours 2 Généralités 3 Eléments de calcul différentiel 4 Optimisation sans contrainte 5 Optimisation avec contraintes de type égalité 6 Optimisation avec contraintes de type inégalité 7 Optimisation sans derivées 2 / 80 Jean TSHIMANGA Ilunga Optimisation Numérique Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation sans contrainte Optimisation avec contraintes de type égalité Optimisation avec contraintes de type inégalité Optimisation sans derivées Sommaire 1 Présentation du cours 2 Généralités 3 Eléments de calcul différentiel 4 Optimisation sans contrainte 5 Optimisation avec contraintes de type égalité 6 Optimisation avec contraintes de type inégalité 7 Optimisation sans derivées 3 / 80 Jean TSHIMANGA Ilunga Optimisation Numérique Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation sans contrainte Optimisation avec contraintes de type égalité Optimisation avec contraintes de type inégalité Optimisation sans derivées Enseignement, Langue, Pré-requis La langue principale utilisée dans le cours est le francais bien que certains documents proposés à la lecture des apprenants soient en anglais. L’apprentissage de ce cours exige une bonne maîtrise de l’algèbre linéaire classique. 4 / 80 Jean TSHIMANGA Ilunga Optimisation Numérique Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation sans contrainte Optimisation avec contraintes de type égalité Optimisation avec contraintes de type inégalité Optimisation sans derivées Objectifs et contours 5 / 80 Jean TSHIMANGA Ilunga Optimisation Numérique Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation sans contrainte Optimisation avec contraintes de type égalité Optimisation avec contraintes de type inégalité Optimisation sans derivées Compétences attendues 6 / 80 Jean TSHIMANGA Ilunga Optimisation Numérique Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation sans contrainte Optimisation avec contraintes de type égalité Optimisation avec contraintes de type inégalité Optimisation sans derivées Prérequis Calcul Numérique Analyse Algèbre Linéaire Numérique 7 / 80 Jean TSHIMANGA Ilunga Optimisation Numérique Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation sans contrainte Optimisation avec contraintes de type égalité Optimisation avec contraintes de type inégalité Optimisation sans derivées Travaux pratiques 8 / 80 Jean TSHIMANGA Ilunga Optimisation Numérique Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation sans contrainte Optimisation avec contraintes de type égalité Optimisation avec contraintes de type inégalité Optimisation sans derivées Quelques livres Jorge Nocedal & Steve Wright, (2000), Numerical Optimization, Springer Verlag Michel Bierlaire, (2006), Introduction à l’optimisation différentielle, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes 9 / 80 Jean TSHIMANGA Ilunga Optimisation Numérique Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation sans contrainte Optimisation avec contraintes de type égalité Optimisation avec contraintes de type inégalité Optimisation sans derivées Quelques Journaux SIAM Journal on Optimization, SIAM Journal of Optimization in Industrial Engineering, Optimization and Engineering, Springer. Engineering Optimization, Taylor & Francis 10 / 80 Jean TSHIMANGA Ilunga Optimisation Numérique Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation sans contrainte Optimisation avec contraintes de type égalité Optimisation avec contraintes de type inégalité Optimisation sans derivées Introduction Sommaire 1 Présentation du cours 2 Généralités 3 Eléments de calcul différentiel 4 Optimisation sans contrainte 5 Optimisation avec contraintes de type égalité 6 Optimisation avec contraintes de type inégalité 7 Optimisation sans derivées 11 / 80 Jean TSHIMANGA Ilunga Optimisation Numérique Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation sans contrainte Optimisation avec contraintes de type égalité Optimisation avec contraintes de type inégalité Optimisation sans derivées Introduction Définition Définition On appelle problème d’optimisation, un problème noté P : min x∈C f(x). La fonction f(x) : C →R : x →f(x) est appelée fonction objectif, et C, l’ensemble des contraintes. Nous nous limitons dans ce cours au cas où C ⊆Rn 12 / 80 Jean TSHIMANGA Ilunga Optimisation Numérique Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation sans contrainte Optimisation avec contraintes de type égalité Optimisation avec contraintes de type inégalité Optimisation sans derivées Introduction Exercice 1.1 Différence entre dimension finie et dimension infinie sur un exemple Soient Le problème P1 : min x∈Cn⊂Rn f(x) = xT x, où Cn =  x ∈Rn, x1 = 1 2 et ∥x∥≤1  et le problème P2 : min x(t)∈C∞ f(x(t)) = Z 1 0 x(t)2dt, où C∞=  x(t) : x(t) est continue et x(0) = 1 2 et Z 1 0 x(t)2dt ≤1  Etudiez l’ensemble des solutions de ces deux problèmes. 13 / 80 Jean TSHIMANGA Ilunga Optimisation Numérique Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation sans contrainte Optimisation avec contraintes de type égalité Optimisation avec contraintes de type inégalité Optimisation sans derivées Introduction Exercice 1.2 Un fabricant de composants électroniques possède deux types de fabriques : A et B, notées Ai, 1 ≤i ≤m et Bj , 1 ≤j ≤n. Lors de la fabrication, chacun de ces composants doit tout d’abord passer par une des usines de type A puis par une de type B. Comme ces usines ne se trouvent pas dans le même lieu géographique, le fabricant doit étudier le meilleur moyen pour transporter ces composants à moindre coût des usines Ai vers les usines Bj. Connaissant la matrice des coûts C = [cij] où cij correspond au coût de transport d’une pièce de l’usine Ai vers l’usine Bj, ainsi que le nombre de pièces ai produites par l’usine Ai et le nombre de pièces bj que l’usine Bj doit recevoir, formuler le plan de transport optimal (en terme de coût de transport) sous la forme d’un problème d’optimisation. Données m = 2, n = 3, capacités des usines [a1, a2] = [10, 20], [b1, b2, b3] = [5, 10, 15] et C =  2 8 7 3 4 5  14 / 80 Jean TSHIMANGA Ilunga Optimisation Numérique Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation sans contrainte Optimisation avec contraintes de type égalité Optimisation avec contraintes de type inégalité Optimisation sans derivées Introduction Solution exercice 1.2. : Formulation mathématique du problème 1 Soient les variables de décisions suivantes : xij nombre de pièces allant de l’usine Ai vers l’usine Bj avec 1 ≤i ≤2 et 1 ≤j ≤3. 2 Le problème de minimisation s’écrit mininiser z = 2x11 + 8x12 + 7x13 + 3x21 + 4x22 + 5x23 3 Les contraintes sont              x11 + x12 + x13 = 10 x21 + x22 + x23 = 20 x11 + x21 = 5 x12 + x22 = 10 x13 + x23 = 15 x11, x12, x13, x21, x22, x23 ≥ 0 15 / 80 Jean TSHIMANGA Ilunga Optimisation Numérique Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation sans contrainte Optimisation avec contraintes de type égalité Optimisation avec contraintes de type inégalité Optimisation sans derivées Introduction Exercice 1.3 Soient deux milieux physiques M1 = {(x, y), y > 0} et M2 = {(x, y), y < 0} et c1 et c2 les vitesses de propagation de la lumière dans M1 et M2 respectivement. On considère que le rayon se propage en ligne droite dans chaque milieu et que le rayon suit un trajet de temps global de parcours minimum (principe de Fermat). Formuler le problème de la recherche du trajet entre A(0, a) et B(c, −b) sous la forme d’un problème d’optimisation, avec a, b, c > 0. En utilisant une étude de fonction, montrez que le principe de Fermat se traduit par la loi de Snell sin α1 c1 = sin α2 c2 16 / 80 Jean TSHIMANGA Ilunga Optimisation Numérique Solution exercice 1.3 Soit sur l’axe des abscisses, x égal à la distance de l’origine au point de passage de la lumière du milieu M1 au milieu M2. Le temps de trajet de la lumière du point A au point B s’écrit : t(x) = √ a2 + x2 c1 + p (c −x)2 + b2) c2 La dérivée du temps en fonction de x : dt dx = 2x 2c1 √ a2 + x2 + 2(x −c) 2c2 p (c −x)2 + b2 A l’optimum, on a dt/dx = 0, ce qui donne sin α1 c1 = sin α2 c2 Les quantités α1 et α2 sont ici les angles de la trajectoire de la lumière avec la verticale en A et en B, respectivement. Rappel (√u)′ = u′ 2√u Présentation du cours Généralités Eléments de calcul différentiel Optimisation sans contrainte Optimisation avec contraintes de type égalité Optimisation avec contraintes de type inégalité Optimisation sans derivées Introduction Exercice 1.4 Un problème d’optimisation linéaire à contraintes linéaires à deux variables Une entreprise fabrique des tables et des chaises à partir de deux matières : le bois et la peinture. La réalisation d’une table nécessite 3 m3 de bois uploads/Voyage/ optinum-1.pdf

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• Publié le Jul 17, 2021
• Catégorie Travel / Voayage
• Langue French
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