Contraintes principales et directions principales Représentation plane du tense
Contraintes principales et directions principales Représentation plane du tenseur des contraintes - Cercles de Mohr État plan de contrainte Bibliographie Qu’est-ce qu’une contrainte principale Invariant de σ Contrainte dans un milieu continu III - Tenseur des contraintes (suite et fin) G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Laboratoire Ondes et Milieux Complexes, UMR 6294 - CNRS Thématique Hydrodynamique Marine gregory.pinon@univ-lehavre.fr – Hors des cours, je suis au laboratoire 53 rue Prony Année 2020/2021 G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Contrainte dans un milieu continu III - Tenseur des contraintes (suite et fin Contraintes principales et directions principales Représentation plane du tenseur des contraintes - Cercles de Mohr État plan de contrainte Bibliographie Qu’est-ce qu’une contrainte principale Invariant de σ Plan de l’exposé 1 Contraintes principales et directions principales Qu’est-ce qu’une contrainte principale Invariant de σ 2 Représentation plane du tenseur des contraintes - Cercles de Mohr 3 État plan de contrainte G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Contrainte dans un milieu continu III - Tenseur des contraintes (suite et fin Contraintes principales et directions principales Représentation plane du tenseur des contraintes - Cercles de Mohr État plan de contrainte Bibliographie Qu’est-ce qu’une contrainte principale Invariant de σ En un point M, il est possible de trouver une facette, de normal − → X , telle que la contrainte sur cette facette soit parallèle à − → X . Cela signifie que cette facette particulière n’est soumise qu’à de la traction ou de la compression. Comment trouver cette direction − → X et la contrainte particulière relative à cette direction? On cherche − → X et λ tel que : − → C (M,− → X ) = λ− → X G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Contrainte dans un milieu continu III - Tenseur des contraintes (suite et fin Contraintes principales et directions principales Représentation plane du tenseur des contraintes - Cercles de Mohr État plan de contrainte Bibliographie Qu’est-ce qu’une contrainte principale Invariant de σ soit − → C (M,− → X ) = σ(M)− → X = λ− → X (1) Notons δ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 le tenseur identité ou matrice identité. Nous avons alors: δ − → u ↷ δ− → u = − → u Reprenons alors (1): σ(M)− → X = λ− → X = λδ− → X σ(M)−λδ − → X = − → 0 G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Contrainte dans un milieu continu III - Tenseur des contraintes (suite et fin Contraintes principales et directions principales Représentation plane du tenseur des contraintes - Cercles de Mohr État plan de contrainte Bibliographie Qu’est-ce qu’une contrainte principale Invariant de σ soit σ−λδ − → X = − → 0 ou encore σ11 −λ σ12 σ13 σ21 σ22 −λ σ23 σ31 σ32 σ33 −λ {− → ei } X1 X2 X3 {− → ei } = − → 0 Soit Xi les composantes inconnues de − → X dans − → ei , on a un système homogène à 3 équations. Ce système n’a de solution qu’à condition que det(σ−λδ) = 0. On obtient alors une équation d’existence de la forme: −λ3 + aλ2 −bλ+ c = 0 (2) Dans le cas général, on obtient trois racines nommées σ1, σ2 et σ3 de cette équation. G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Contrainte dans un milieu continu III - Tenseur des contraintes (suite et fin Contraintes principales et directions principales Représentation plane du tenseur des contraintes - Cercles de Mohr État plan de contrainte Bibliographie Qu’est-ce qu’une contrainte principale Invariant de σ À chacune de ces solutions va correspondre une direction, il y aura trois direction − → X 1, − → X 2, − → X 3 qui seront solution des 3 équations suivantes: − → C (M,− → X 1) = σ− → X 1 = σ1− → X 1 − → C (M,− → X 2) = σ− → X 2 = σ2− → X 2 − → C (M,− → X 3) = σ− → X 3 = σ3− → X 3 On montre en particulier que − → X 1, − → X 2 et − → X 3 sont perpendiculaires 2 à 2. σ1, σ2 et σ3 sont appelés contraintes principales. − → X 1, − → X 2 et − → X 3 sont appelés directions principales. G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Contrainte dans un milieu continu III - Tenseur des contraintes (suite et fin Contraintes principales et directions principales Représentation plane du tenseur des contraintes - Cercles de Mohr État plan de contrainte Bibliographie Qu’est-ce qu’une contrainte principale Invariant de σ Remarque: la matrice représentant σ étant symétrique et orthogonale, on peut la diagonaliser. C’est-à-dire qu’il existe une base n− → Xi o , dit base de vecteur propre ou base principale, dans laquelle le tenseur σ se représente par une matrice diagonale: σ = σ11 σ12 σ13 σ21 σ22 σ23 σ31 σ32 σ33 {− → ei } = σ1 0 0 0 σ2 0 0 0 σ3 n− → Xi o G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Contrainte dans un milieu continu III - Tenseur des contraintes (suite et fin Contraintes principales et directions principales Représentation plane du tenseur des contraintes - Cercles de Mohr État plan de contrainte Bibliographie Qu’est-ce qu’une contrainte principale Invariant de σ Ainsi, si en un point M on isole un petit parallélépipède rectangle de direction − → X 1, − → X 2 et − → X 3, les faces de ce parallélépipède ne seront soumise qu’à de la traction ou compression. G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Contrainte dans un milieu continu III - Tenseur des contraintes (suite et fin Contraintes principales et directions principales Représentation plane du tenseur des contraintes - Cercles de Mohr État plan de contrainte Bibliographie Qu’est-ce qu’une contrainte principale Invariant de σ Invariant de σ L ’équation d’existence (2) indique que σ1, σ2 et σ3 sont fonction des composantes de σij du même tenseur σ exprimé dans la base − → ei . Plus précisément, l’équation d’existence (2) est: −λ3 + aλ2 −bλ+ c = 0, avec a = σ11 +σ22 +σ33 = trace(σ) = Σ1 b = σ11σ22 +σ22σ33 +σ33σ11 −σ2 12 −σ2 13 −σ2 23 = Σ2 c = det(σ) = Σ3 G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Contrainte dans un milieu continu III - Tenseur des contraintes (suite et fin Contraintes principales et directions principales Représentation plane du tenseur des contraintes - Cercles de Mohr État plan de contrainte Bibliographie Qu’est-ce qu’une contrainte principale Invariant de σ σ1, σ2 et σ3 sont intrinsèques à l’état de contrainte, c’est-à-dire que si l’on connaît la matrice du tenseur σ dans une autre base n− → e′ i o , on aura une équation d’existence similaire : −λ3 + a′λ2 −b′λ+ c′ = 0, (3) avec a = a′, b = b′ et c = c′ pour tout base − → ei et n− → e′ i o . Donc a = Σ1, b = Σ2, c = Σ3 sont appelés les invariants du tenseur σ. G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Contrainte dans un milieu continu III - Tenseur des contraintes (suite et fin Contraintes principales et directions principales Représentation plane du tenseur des contraintes - Cercles de Mohr État plan de contrainte Bibliographie Qu’est-ce qu’une contrainte principale Invariant de σ Remarque: En particulier, on a : Σ1 = σ11 +σ22 +σ33 = σ1 +σ2 +σ3 Σ2 = σ11σ22 +σ22σ33 +σ33σ11 −σ2 12 −σ2 13 −σ2 23 = σ1σ2 +σ2σ3 +σ3σ1 Σ3 = det(σ) = σ1σ2σ3 G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Contrainte dans un milieu continu III - Tenseur des contraintes (suite et fin Contraintes principales et directions principales Représentation plane du tenseur des contraintes - Cercles de Mohr État plan de contrainte Bibliographie Comment on obtient les cercles de Mohr? Représentation des contraintes principales Pour une contrainte qui n’est pas une contrainte principale Représentation graphique du tri-cercle de Mohr Plan de l’exposé 1 Contraintes principales et directions principales 2 Représentation plane du tenseur des contraintes - Cercles de Mohr Comment on obtient les cercles de Mohr? Représentation des contraintes principales Pour une contrainte qui n’est pas une contrainte principale Représentation graphique du tri-cercle de Mohr 3 État plan de contrainte G. Pinon - Univ. Le Havre Normandie / LOMC Contrainte dans un milieu continu III - Tenseur des contraintes (suite et fin Contraintes principales et directions principales Représentation plane du tenseur des contraintes - Cercles de Mohr État plan de contrainte Bibliographie Comment on obtient les cercles de Mohr? Représentation des contraintes principales Pour une contrainte qui n’est pas une contrainte principale Représentation graphique du tri-cercle de uploads/Voyage/ mmc-m1-cours03-tenseur-contrainte-suite.pdf
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- Publié le Jul 23, 2021
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