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Partie 1 Exemple • Lorsqu’on étudie l’influence d’un facteur, en général, on li

Partie 1 Exemple • Lorsqu’on étudie l’influence d’un facteur, en général, on limite ses variations entre deux bornes. La borne inférieure est le niveau bas. La borne supérieure est le niveau haut. Si l’on étudie l’influence de la vitesse du véhicule sur la consommation, celle-ci peut varier, par exemple, entre 80 et 120 km/h. La vitesse de 80 km/h est le niveau bas et la vitesse de 120 km/h est le niveau haut. C’est l’expérimentateur qui définit ces deux niveaux en fonction des spécificités de l’étude. L’ensemble de toutes les valeurs que peut prendre le facteur entre le niveau bas et le niveau haut, s’appelle le domaine de variation du facteur ou plus simplement le domaine du facteur. • S’il y a plusieurs facteurs, chacun d’eux à son domaine de variation. Afin d’avoir une représentation commune pour tous les facteurs, on a l’habitude d’indiquer les niveaux bas par –1 et les niveaux hauts par +1. La vitesse de 80 km/h est le niveau –1 et celle de 120 km/h est le niveau +1. • À l’intérieur du domaine d’un facteur continu toutes les valeurs sont théoriquement possibles. On peut donc y choisir deux, trois ou plusieurs niveaux selon les besoins de l’étude. Par exemple, si l’on veut établir un modèle du second degré, on choisira trois ou quatre niveaux, c’est-à-dire trois ou quatre vitesses différentes. Domaine d’étude • Dans la pratique, l’expérimentateur sélectionne une partie de l’espace expérimental pour réaliser son étude. Cette zone particulière de l’espace expérimental est le domaine d’étude (figure ci-dessous). Ce domaine est défini par les niveaux hauts et les niveaux bas de tous les facteurs et éventuellement par des contraintes entre les facteurs. Supposons que le second facteur soit la surcharge du véhicule définie comme toute masse supplémentaire à celle du véhicule et du chauffeur. Le niveau bas de la surcharge est 0 kg et le niveau haut 300 kg, par exemple. S’il n’y a pas de contraintes, le domaine d’étude est représenté par tous les points dont les surcharges sont comprises entre 0 et 300 kg et dont les vitesses sont comprises entre 80 et 120 km/h. Il peut y avoir des contraintes sur le domaine d’étude. Par exemple, il peut être impossible d’atteindre la vitesse de 120 km/h avec une surcharge trop élevée. La figure ci-dessous illustre une réduction possible du domaine d’étude initial. Une zone du domaine d’étude initial échappe aux expériences. Variables centrées réduites • Lorsqu’on attribue la valeur -1 au niveau bas d’un facteur et la valeur +1 au niveau haut, on effectue deux modifications importantes : – On déplace l’origine des mesures. Dans l’exemple choisi, le milieu de l’intervalle [-1 ; +1] correspond à une valeur de 100 km/h. La valeur numérique de la nouvelle origine, zéro, diffère donc de l’origine exprimée en unité courante. – On change l’unité de mesure. Par exemple, si le niveau bas du facteur « vitesse du véhicule » est 80 km/h et le niveau haut 120 km/h, il y a 40 km/h entre ces deux valeurs, soit 40 fois l’unité de vitesse. Entre -1 et +1 il y a deux unités nouvelles : la nouvelle unité vaut 20 km/h, on lui donne le nom de Pas. Ces deux modifications entraînent l’introduction de nouvelles variables que l’on appelle variables centrées réduites (v. c. r) : centrées pour indiquer le changement d’origine et réduites pour signaler la nouvelle unité. On utilise également le terme de variables codées ou d’unités codées. Le passage des variables d’origine A aux variables codées x, et inversement, est donné par la formule suivante (A0 est la valeur centrale en unités courantes) : Points expérimentaux • Dans un espace à deux dimensions, le niveau i du facteur 1, noté x1,i, et le niveau j du facteur 2, noté x2,j, peuvent être considérés comme les coordonnées d’un point de l’espace expérimental ou du domaine d’étude (figure1.6). Par exemple, si le niveau de la vitesse est 90 km/h et celui de la surcharge est 250 kg, les coordonnées du point expérimental sont : • Une expérience donnée est alors représentée par un point dans ce système d’axes. • C’est la raison pour laquelle une expérience est souvent désignée par l’expression point expérimental, point d’expérience ou même simplement point. Un plan d’expériences est donc représenté par un ensemble de points expérimentaux, eux-mêmes situés dans l’espace expérimental. Dans l’exemple que nous avons pris, l’expérience est conduite sur un véhicule qui roule à 90 km/h avec une surcharge de 250 kg. Remarque •Jusqu’à trois facteurs, il est possible de dessiner le domaine d’étude. Au-delà de trois facteurs, on utilise une représentation en tableau, dite matricielle, plus générale puisqu’elle permet de représenter les points d’expériences dans un hypervolume à un nombre quelconque de dimensions. 1.2 Notion de surface de réponse • Les niveaux xi représentent les coordonnées d'un point expérimental et y est la valeur de la réponse en ce point. On définit un axe orthogonal à l'espace expérimental et on l'attribue à la réponse. La représentation géométrique du plan d'expériences et de la réponse nécessite un espace ayant une dimension de plus que l'espace expérimental. Un plan à deux facteurs utilise un espace à trois dimensions pour être représenté : une dimension pour la réponse, deux dimensions pour les facteurs. • A chaque point du domaine d'étude correspond une réponse. A l'ensemble de tous les points du domaine d'étude correspond un ensemble de réponses qui se localisent sur une surface appelée la surface de réponse (Figure 5). Le nombre et l'emplacement des points d'expériences est le problème fondamental des plans d'expériences. On cherche à obtenir la meilleure précision possible sur la surface de réponse tout en limitant le nombre d’expériences. Figure 5 : Les réponses associées aux points du domaine d'étude forment la surface de réponse. Les quelques réponses mesurées aux points du plan d'expériences permettent de calculer l'équation de la surface de réponses. 1.3 Notion de modélisation mathématique • On choisit a priori une fonction mathématique qui relie la réponse aux facteurs. On prend un développement limité de la série de Taylor-Mac Laurin. Les dérivées sont supposées constantes et le développement prend la forme d'un polynôme de degré plus ou moins élevé : Où • y est la réponse ou la grandeur d'intérêt. Elle est mesurée au cours de l'expérimentation et elle est obtenue avec une précision donnée. • xi représente le niveau attribué au facteur i par l'expérimentateur pour réaliser un essai. Cette valeur est parfaitement connue. On suppose même que ce niveau est déterminé sans erreur (hypothèse classique de la régression). • a0, ai, aij, aii sont les coefficients du modèle mathématique adopté a priori. Ils ne sont pas connus et doivent être calculés à partir des résultats des expériences. L'intérêt de modéliser la réponse par un polynôme est de pouvoir calculer ensuite toutes les réponses du domaine d'étude sans être obligé de faire les expériences. Ce modèle est appelé "modèle postulé" ou "modèle a priori". 1.4 Le modèle de l'expérimentateur • Deux compléments doivent être apportés au modèle précédemment décrit. • Le premier complément est le "manque d'ajustement". Cette expression traduit le fait que le modèle a priori est fort probablement différent du modèle réel qui régit le phénomène étudié. Il y a un écart entre ces deux modèles. Cet écart est le manque d'ajustement (lack of fit en anglais), on le note par la lettre ⍙. • Le second complément est la prise en compte de la nature aléatoire de la réponse. En effet, si l'on mesure plusieurs fois une réponse en un même point expérimental, on n'obtient pas exactement le même résultat. Les résultats sont dispersés. Les dispersions ainsi constatées sont appelées erreurs expérimentales, (pure error en anglais) et on les note par la lettre e. • Ces deux écarts, manque d'ajustement et erreur expérimentale, sont souvent réunis dans un seul écart, notée. Le modèle utilisé par l'expérimentateur s'écrit alors : La relation générale doit être modifiée ainsi : y = f (x1,x2,x3,…,xn) + ⍙ + e 1.5 Système d'équations • Chaque point expérimental permet d'obtenir une valeur de la réponse. Cette réponse est modélisée par un polynôme dont les coefficients sont les inconnues qu'il faut déterminer. A la fin du plan d'expériences, on a un système de n équations (s'il y a n essais) à p inconnues (s'il y a p coefficients dans le modèle choisi a priori). Ce système s'écrit d'une manière simple en notation matricielle : y = X a + e • où : – y est le vecteur des réponses, – X est la matrice de calcul des coefficients ou matrice du modèle qui dépend des points expérimentaux choisis pour exécuter le plan et du modèle postulé, – a est le vecteur des coefficients, – e est le vecteur des écarts. • Ce système ne peut pas, en général, être résolu simplement car le nombre d’équations est inférieur au nombre d’inconnues. En effet, il y a n équations et p + n inconnues. Cette résolution ne peut être menée à bien que si l’on utilise uploads/Voyage/ plan-d-x27-exp-partie-1 1 .pdf