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Rombaldi problemes corriges d x27 agregation externe maths general

Agrégation de Mathématiques Problèmes corrigés J E Rombaldi janvier Cii CTable des matières Agrégation externe épreuve Énoncé Corrigé Agrégation externe épreuve Énoncé Corrigé Agrégation externe épreuve Énoncé Corrigé Agrégation externe épreuve Énoncé Corrigé Agrégation externe épreuve Énoncé Corrigé Agrégation externe épreuve Énoncé Corrigé Agrégation externe épreuve Énoncé Corrigé Agrégation externe Épreuve Énoncé Corrigé Agrégation externe Épreuve Énoncé Corrigé Agrégation externe Épreuve Énoncé Corrigé iii Civ Agrégation externe Épreuve Énoncé Corrigé Agrégation externe Épreuve Énoncé Corrigé Agrégation externe Épreuve Énoncé Corrigé Agrégation externe Épreuve Énoncé Corrigé Agrégation externe Épreuve Énoncé Corrigé Bibliographie C Agrégation externe épreuve Ce problème a pour objet l ? étude des formes quadratiques non dégénérées positives sur Qn des matrices symétriques d ? ordre et à coe ?cients entiers et des réseaux de Qn c ? est-à-dire des sous groupes de Qn engendrés par une base de Qn Il ne nécessite pas beaucoup de connaissances préalables Toutefois les points qu ? il peut être utile de réviser sont les suivants ?? formes quadratiques sur un corps commutatif de caractéristique di ?érente de représentation matricielle changement de bases ?? réseaux de Rn Énoncé La partie I est indépendante des deux suivantes ??I ?? n étant un élément de N ? entier naturel non nul on note ? ? ?n la base canonique de Qn La matrice d ? une forme quadratique q relative à cette base est appelée matrice canonique de q q est dite dé ?nie positive si q x ? pour tout x Mn Q resp Mn Z est l ? algèbre des matrices carrées d ? ordre n à coe ?cients dans Q resp Z GLn Q resp GLn Z est le groupe multiplicatif des matrices inversibles de Mn Q resp inversibles de Mn Z I est la matrice unité de Mn Q tM resp det M est la transposée resp le déterminant de la matrice M Dans cette première partie n ne prend que les valeurs et Soit q une forme quadratique de Q de matrice canonique M uv vw ?? GL Z On pose ? det M Montrer que si q est non dégénérée positive alors ? On suppose toujours M ?? GL Z et pour cette question et la suivante ? Montrer que l ? une des deux formes q ou ??q est non dégénérée positive a Admettant ici que q est non d égénérée positive démontrer pour u l ? existen ce d ? une matrice P ??s ?? GL Z telle que si M tP M P u v v w alors u ? u C Agrégation externe épreuve b En déduire l ? existence de N ?? GL Z telle que M tNN Énoncer une propriété relative à la décomposition de q en somme de deux carrés Jusqu ? à la ?n de cette première partie q désigne une forme quadratique de Q non dégénérée positive dont la matrice canonique F EB F F mp q F ED F F M p m r q r m est un