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Serie de fourrier et transformee de fourrier

Série de Fourier et transformé de Fourier I- Série de Fourier Tout signal peut être représenté de manières - En fonction de temps x t - En fonction de fréquence X f et X w L ? outil mathématique qui permet de passer d ? une représentation à l ? autre est - La série de Fourier si x t est périodique - La transformée de Fourier si x t est non périodique II-Enoncé du théorème de Fourier Il est bien connu que les signaux continus périodiques contiennent des fréquences harmoniques Donc tout signal périodique x t de période T f peut se décomposer en une somme de fonctions sinuso? dale de fréquence fn nf multiple de la fréquence fondamentale Il existe plusieurs formes de série de Fourier Forme trigonométrique Soit x t a a cos w t b sin w t a cos w t b sin w t ? an et bn sont les coe ?cients de la série de Fourier a appelé valeur moyenne ou composante continue terme constant du signal Ils sont déterminés à partir des relations suivantes CN B si x t est une fonction paire c -à-d x t x -t alors ?? n bn si x t est une fonction impaire c -à-d x t - x -t alors ?? n an Forme polaire Le terme général x t an cos n ? t bn sin n ? t t An cos n ? t n est appelé harmonique de rang n Donc w t fondamental An cos w t n harmonie de l ? ordre n- A cos Forme complexe ou forme exponentiel Tout signal à temps continu s t périodique de période To peut s ? écrire En utilisant les formules d ? Euler COn montre que tout signal à temps continu s t périodique de période To peut également s ? écrire t est une valeur quelconque En choisissant t - T donc Cn C-n Cn est un nombre complexe C n C ??n III- Puissance d ? un signal périodique Si l ? on suppose que le signal x t est une tension aux bornes d ? une résistance la puissance moyenne fournit à la résistance est Donc La puissance d ? un signal périodique x t de période To se calcule comme moyenne quadratique du signal sur une période IV- Théorème de Parseval Le théorème de Parseval sur les séries de Fourier établit que si x t est un signal périodique de période T on a Cette relation exprime que la puissance moyenne de x t est fournie par la somme des carrés de l ? amplitude de tous les harmoniques du spectre CV- Transformée de Fourier On utilise la transformée de Fourier pour les signaux apériodique pour passer du domaine temporel x t au domaine fréquentiel X f ou X w X f est la transformée de Fourier de x t VI- Transformée de Fourrier inverse On utilise la transformée de Fourrier inverse pour les signaux apériodique