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Planche no Nombres complexes corrigé Exercice no ?? ?? ?? On a i ei ? Les racines carrées de i dans C sont donc ei ? et ?? ei ? On a aussi pour x y ?? R x iy F F F F i ?? x ?? y x y ?? F F xy F F F F F F F F F F F F x ?? F F F F F F F F F F ?? y ?? ?? xy F F F EB F F F ED F F ?? x y ?? ?? ?? ?? F F F FC F FD F F F FE Les racines carrées de i sont donc aussi ?? ?? i ?? Puisque Re ei ? cos ? on obtient ?? ei ? ?? ?? i ?? ou encore ei ? ?? ?? ?? i ?? ?? ?? ?? i ?? et donc par identi ?cation des parties réelles et imaginaires cos ? ?? et sin ? ?? ?? Exercice no ?? ?? z z ?? z ?? i j ou z ?? ?? i j ? ?? ?? ?? i L ? équation a donc deux solutions non réelles et conjuguées à savoir z ?? i et z ?? ?? i Soit ?? R Pour tout complexe z on a z ?? z cos z ?? cos ?? cos z ?? cos sin z ?? cos ?? i sin z ?? cos ?? i sin z ?? cos i sin z ?? ei z ?? e ??i L ? équation proposée a donc deux solutions pas nécessairement distinctes z ei et z e ??i De plus ? ?? cos ?? ?? sin et ces solutions sont distinctes si et seulement si ?? ?Z Soit E l ? équation z ?? i z i Son discriminant est ? i ?? i ?? ?? i Comme ? ? ? et que ?? ?? ?? on est en droit de deviner que ? ?? i L ? équation E a deux solutions distinctes dans C à savoir z i ?? i ?? i et z i ?? i i Soit E l ? équation z ?? i z i Son discriminant est ? i ?? i i Comme ? ? ? et que ?? on est en droit de deviner que ? i L ? équation proposée a deux solutions distinctes dans C à savoir z i i i et z i ?? ?? i ? i Exercice no On a a e i ? e i ? e i ? e ?? i ? cos ? et b e i ? e i ? e i ? e ?? i ? cos ? z z z et z sont les cinq racines cinquièmes de dans C Par suite z z z z Mais alors a b z z z z ?? et ab z z z z z z z z z z z z ?? car z http www