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Matthieu Mathématiques Expertes TG FARGES Tiers temps Exercice Etant donné que d divise n ?- n et n- d divise toute combinaison linéaire de n ?- n et de n- d u n ?- n v n- d n ?- n n n- d n ?- n n ?-n d - n Or d divise toute combinaison linéaire de - n et de n- d divise donc toute combinaison linéaire de - n et de n- d u - n v n- d - n n- d - n n - d Prenons tous les diviseurs de d - - Or - et - ne sont pas des entiers naturels nous pouvons les retirer de la liste véri ?ons ensuite si les valeurs trouvé véri ?e l ? énoncé n ?- - n ?- - Exercice Hypothèse de récurrence un est divisible par Initialisation n u - u u P est véri ?ée donc l ? initialisation est prouvée Hérédité Soit n un entier naturel non nul quelconque pour lequel un est divisible par véri ?ons si cela est vrai pour le rang un un n n- un n n- il existe un entier k naturel tel que n n- k supposons qu ? il existe k ? un entier naturel tel que un n n- k ? divise donc toute combinaison linéaire de n n- et de n n- k ? ? u n n- v n n- k ? ? n n- - n n- k ? ? n - n n- - n- - k ? ? n - n- - k ? ? n n- k ? ? n n- k ? ? n n- si k ? ? alors un est divisible par L ? hérédité est donc prouvée Conclusion L ? hérédité et l ? initialisation ayant toutes deux été prouvées divise e ?ectivement n n- pour toute valeur de n supérieure à Voisin de gauche Léonard Navizet Voisin de droite Le mur CMatthieu Mathématiques Expertes TG FARGES Tiers temps Exercice x ? y ?- x y ?? ??x y ?? il existe x un entier relatif tel que divise x ? en résulte y ?- ? Exercice A Notons Vn un un un n - ?- - n un n ?- n - - - n un n ? n - n - - - n un n ? n - n- - - - n un n ? n - - n Vn un un Vn n ? n - - n n- ?- - n Vn n ? n - - n n ?- n - - n Vn n ? n - - n n ?- n- - n Vn n ? B Démontrons par récurrence que un est divisible par pour toute valeurs de n Initialisation n u - ?- - u - est divisible par P véri ?ée pour u l ? initialisation est donc véri ?ée Hérédité Supposons qu ? il existe un entier naturel quelconque n