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Enacpilotes 2010 corrige CONCOURS DE RECRUTEMENT D ? ELEVES PILOTE DE LIGNE ANNEE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Partie I Question a VRAI b FAUX c FAUX d FAUX Explication On sait que M R est un R espace vectoriel de dimension En particulier M R est un groupe co

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ? ELEVES PILOTE DE LIGNE ANNEE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Partie I Question a VRAI b FAUX c FAUX d FAUX Explication On sait que M R est un R espace vectoriel de dimension En particulier M R est un groupe commutatif Donc a est vrai et c est faux On sait que M R ? n ? est pas un groupe et que M R ? est un anneau non commutatif Donc b et d sont faux Question a FAUX b FAUX c VRAI d FAUX Explication a La multiplication d ? une matrice par un réel n ? est pas une loi de composition interne et donc a est faux c et d E Vect E E E E E E E E E Donc E est un sous-espace vectoriel de M R ce qui équivaut au fait que E est non vide et stable par combinaison linéaire c est vrai et d est faux b E E E E E E et E E E E E E Donc si ? est interne dans E ? n ? est pas commutative dans E b est faux Question a VRAI b FAUX c FAUX d VRAI Explication a et b Il est clair que F est contenu dans E Ensuite F Vect E E E E E E E E E et donc F est un sous-espace vectoriel de E Donc a est vrai et b est faux c et d Si E ? est un anneau E ? n ? est pas commutatif et donc c est faux Ensuite au gré des di ?érents programmes o ?ciels il a été imposé à un sous- anneau de contenir l ? élément neutre de la multiplication de l ? anneau ou non Il semblerait qu ? en ce moment ce soit le cas et on parie donc que d est vrai http www maths-france fr c Jean-Louis Rouget Tous droits réservés CQuestion a FAUX b VRAI c FAUX d VRAI F EB F F F ED F F Explication a rg et donc a est faux b Les colonnes C et C de N sont égales Donc rg N rg C C C rg C C b est vrai c Si ? ? alors rg N et donc c est faux d En supprimant des lignes ou des colonnes égales à d ? autres lignes ou d ? autres colonnes on obtient F EB F F ? F ED rg N rg F F ? rg ? ? ? ? ? rg ? ? Si maintenant ?? ? ? cette dernière matrice est une matrice carrée de format non inversible et donc de rang inférieur ou égal à Donc d est vrai Question a FAUX b FAUX c FAUX d FAUX Explication a D ? après la question a il est possible que rg N et donc que dim Ker fN Donc a est faux b Si ? ? N puis dim Ker fN Donc b