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Groupe diedral GROUPE DIÉDRAL Soit n un entier supérieur ou égal à On se propose de déterminer l'ensemble G des isométries du plan préservant les sommets d'un n-gone Soient O le centre du n-gone A l'un de ses sommets et g un élément de G On note A A An ??

GROUPE DIÉDRAL Soit n un entier supérieur ou égal à On se propose de déterminer l'ensemble G des isométries du plan préservant les sommets d'un n-gone Soient O le centre du n-gone A l'un de ses sommets et g un élément de G On note A A An ?? les sommets du n-gone dans cet ordre On note s la symétrie d'axe OA et ri la rotation de centre O qui envoie A en Ai i n ?? Démontrer que G est un groupe dont l'ordre divise n a On suppose dans cette question de g A A Que peut-on dire de g b On suppose dans cette question de g A Ai i n ?? Démontrer que g ri ou g ri o s c En déduire que G r s o? r r Préciser l'ordre de G Compositions d'éléments de G a Démontrer que s o r o s o r Id b Démontrer que ??i j ?? ? n ?? ri o s o rj o s ri ?? j Il est clair que G est un sous-groupe du groupe symétrique Sn D'après le théorème de Lagrange on peut a ?rmer que l'ordre de G divise n a g possède dèjà deux points ?xes Il y a évidemment A Mais également O En e ?et comme g est a ?ne elle conserve le barycentre d'une famille de points Donc g O O Car O est l'isobarycentre de A A An ?? En conséquence g ?xe la droite A O Puisque cette droite est l'ensemble des barycentres de A et O On en déduit g s ou g Id b On a ri ?? o g A ri ?? Ai A Et d'après a ri ?? o g s ou ri ?? o g Id D'o? g ri o s ou g ri De plus ces deux isométries sont bien distinctes puisque l'on a par exemple ri o s A ri An ?? Ai ?? n et ri A Ai n Or i ?? i n entra? ne n ce qui est exclu car n ? Donc ri o s A ?? ri A c D'après les questions a et b on a examiné toutes les possibilités de transformation du point A À chaque image possible de A correspond deux isométries distinctes On a la liste des isométries suivantes Id r r rn ?? r o s r o s rn ?? o s En notant r r on a bien G r s L'ordre de G est n Et r n s a r o s o r A r o s A r An ?? A Donc d'après a r o s o r Id ou r o s o r s Groupe diédral Page G COSTANTINI COr r o s o r A r o s A r An ?? An ?? Donc r o s o r ?? Id D'o? rosor s s o r o s o r Id On a aussi r