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Principe hamming Fabien DONIUS Nicolas GRILL Chérine KAMEL Selim MILED - Ing Gr ANALYSE MATHEMATIQUE HAMMING Les codes correcteurs d ? erreur C Le code de Hamming est un code correcteur d ? erreur généré par un polynôme générateur appelé I Génération de l

Fabien DONIUS Nicolas GRILL Chérine KAMEL Selim MILED - Ing Gr ANALYSE MATHEMATIQUE HAMMING Les codes correcteurs d ? erreur C Le code de Hamming est un code correcteur d ? erreur généré par un polynôme générateur appelé I Génération de la matrice génératrice La matrice génératrice du code est générée par le polynôme générateur suivant La matrice génératrice est obtenue en e ?ectuant la division euclidienne de ce polynôme par les di ?érents polynômes de transmission ne contenant qu ? un seul Par exemple Ces quatre polynômes sont ensuite multipliés par le terme de plus haut degré du polynôme générateur Les lignes de la matrice génératrice nous sont données par les coe ?cients des polynômes de la manière suivante Message Polynôme Dénominateur Quotient de la division par H z Reste Ligne de la génératrice Les lignes de la matrice génératrice sont obtenues en mettant d ? abord les coe ?cients du polynôme représentant le message puis en mettant les coe ?cients du reste de la division par Nous obtenons ainsi la matrice génératrice suivante que nous appellerons G Or cette matrice n ? est pas exploitable sous cette forme nous devons donc la transposer Nous obtenons donc La matrice de parité H est générée de la même manière que la matrice génératrice exceptée que ses lignes sont formées des coe ?cients du reste de la division par puis des coe ?cients du polynôme représentant le message à transmettre Nous obtenons la matrice suivante pour la matrice de contrôle de parité II Codage des informations à transmettre Nous connaissons maintenant la matrice génératrice et la matrice de contrôle de parité Soit la matrice représentant les données à transmettre Analyse mathématique - Hamming ?? Les codes correcteurs d ? erreurs C Par exemple on pourrait prendre autre chose en l ? occurrence Le codage des informations à transmettre est e ?ectué en faisant le produit matriciel On pose Ici représente les données e ?ectivement transmises III Réception Soit la matrice de données reçues Dans le cas idéal aucune erreur n ? est apparue lors de la transmission et dans ce cas et il su ?t de passer à l ? étape du décodage IV Correction des erreurs Si des erreurs sont apparues au cours de la transmission Soit la matrice de données reçues ces données ont été altérées lors de la transmission On pose o? désigne un vecteur unitaire de l ? espace considéré c ? est-à-dire un espace à dimensions Ainsi nous savons que nous avons une erreur à la ie place Nous avons et en multipliant cette expression par nous obtenons étant la matrice de données transmises nous avons En e ?et la matrice x Nous supposons maintenant qu ? une erreur est apparue au bit Les données idéalement reçues seraient Avec une erreur au e bit nous obtenons Il s ? agit maintenant de la trouver puis de la corriger Nous avons Analyse mathématique - Hamming ?? Les codes correcteurs d ? erreurs C La matrice correspond à