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Td7 corrige 1 CPP ?? Corrigé du TD no Algèbre générale I J Gillibert Exercice Dire si chacune des relations ci-dessous est ré exive symétrique ou transitive La relation R sur Q dé ?nie par xRy ?? xy a La relation R est-elle ré exive C ? est-à-dire est-il

CPP ?? Corrigé du TD no Algèbre générale I J Gillibert Exercice Dire si chacune des relations ci-dessous est ré exive symétrique ou transitive La relation R sur Q dé ?nie par xRy ?? xy a La relation R est-elle ré exive C ? est-à-dire est-il vrai que xRx pour tout x ?? Q Ici xRx signi ?e x ce qui est faux pour x Donc R n ? est pas ré exive b La relation R est-elle symétrique C ? est-à-dire est-il vrai que xRy ?? yRx pour tout couple x y ?? Q La réponse est oui car xy ?? yx c La relation R est-elle transitive C ? est-à-dire étant donné trois nombres x y et z tels que xRy et yRz est-il vrai que xRz La réponse est oui En e ?et si xy alors x et y De même si yz alors y et z Il en résulte que xz puisque x et z sont non nuls La relation T sur Z dé ?nie par aT b ?? a ?? b est divisible par ou par a La relation T est ré exive En e ?et pour tout a ?? Z a ?? a est divisible par et par b La relation T est symétrique En e ?et si aT b est vrai alors a ?? b est divisible par ou par donc son opposé b ?? a est lui aussi divisible par ou par c ? est-à-dire que bT a est vrai c La relation T n ? est pas transitive On peut donner le contre-exemple suivant T et T sont vrais mais T est faux Exercice On considère la relation R sur R dé ?nie par xRy ?? x ?? y x ?? y On remarque que xRy ?? x ?? x y ?? y Gr? ce à cette nouvelle formulation il est facile de véri ?er que R est une relation d ? équivalence ce que nous ne faisons pas ici Soit x ?? R Par dé ?nition la classe d ? équivalence de x notée Cl x est l ? ensemble Cl x y ?? R xRy On cherche donc l ? ensemble des y satisfaisant x ?? y x ?? y Bien sûr y x est solution puisque R est ré exive Pour trouver les autres solutions on peut supposer que y x Sachant que x ?? y x ?? y x y l ? équation devient x ?? y x y x ?? y d ? o? x y en divisant les deux côtés par x ?? y Autrement dit y ?? x Au ?nal nous avons montré que Cl x x ?? x Exercice On dé ?nit une relation ?? sur P R l ? ensemble des parties de R en posant X ?? Y ?? X ?? Y ?? C Véri ?ons que ?? est bien une relation d ? équivalence a Ré exivité pour toute partie X de R il est vrai que X ?? X