Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Tg2 cours integrales TG - - Interprétations géométriques de l'intégrale Dans les trois cas suivants f est C une fonction dé nie continue sur a b avec a b Cf désigne la courbe de f dans le repère orthogonal O ??O ?I O ?? ?J L'unité d'aire est l'aire du rec

TG - - Interprétations géométriques de l'intégrale Dans les trois cas suivants f est C une fonction dé nie continue sur a b avec a b Cf désigne la courbe de f dans le repère orthogonal O ??O ?I O ?? ?J L'unité d'aire est l'aire du rectangle OI K J D désigne la partie du plan délimitée par Cf l'axe des abscisses et les droites d'équations x a et x b f Cas o? est POSITIVE Dans ce cas D M x y a x b et y f x Théorème Si f est continue et positive sur a b en notant D M x y a x b et y f x on a b f x dx Aire D en unités d'aire u a a Démonstration il C n'y a rien à démontrer car cette égalité est la dé nition de l'intégrale d'une fonction POSITIVE donnée au début de ce chapitre Commentaire Toute égalité peut se lire de gauche à droite mais aussi de droite à gauche Dans de nombreux exercices on utilise cette égalité pour calculer une aire Si f est positive sur a b l'aire sous la courbe de f entre a et b en unités d'aire est égale à l'intégrale de f entre a et b Cf Cas o? est NÉGATIVE Dans ce cas D M x y a x b et f x y Théorème Si f est continue et négative sur a b en notant D M x y a x b et f x y alors on a b f x dx ??Aire D o? l'aire est en unités d'aire u a a Démonstration Soit g x ??f x notons D M x y a x b et y g x Cg est la symétrique de Cf par rapport à l'axe des abscisses Cdonc les parties du plan D et D sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses donc Calculons Aire D Aire D b b f x dx ?? ??f x dx a a b b f x dx ??g x dx a a b b f x dx ?? g x dx par linéarité de l'intégrale a a or pour tout x ?? a b f x donc ?? f x donc g x g est POSITIVE sur a b donc b g x dx Aire D donc a b f x dx ??Aire D or Aire D Aire D donc a b f x dx ??Aire D a Commentaire Lorsque deux nombres sont opposés chacun est l'opposé de l'autre A ??B ? ?? B ??A Dans de nombreux exercices on utilise cette égalité pour calculer une aire Si f est négative sur a b l'aire délimitée par la courbe de f l'axe des abscisses les droites d'équation x a et x b en unités d'aire est égale à l'opposé de l'intégrale de f entre a et b b Aire D ?? f x dx o? Aire D est en unités d'aire u a a C Cas d'une