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Imprimer Page sur La transformation de Fourier de fonctions au-delà de et J -B Hiriart-Urruty et M Pradel Agrégés des mathématiques professeurs à l'université Paul Sabatier Toulouse C'est dans un cours de Calcul intégral de niveau Bac premières années d'écoles d'ingénieurs Licences des universités qu'est généralement introduite et étudiée la transformation de Fourier de fonctions Elle est d'abord traitée pour des fonctions intégrables puis pour des fonctions de carré intégrable et on insiste sur le fait que l'approche ne saurait être la même pour les deux espaces de fonctions L'objet de cette note est de montrer que ce faisant on a en fait dé ?ni la transformation de Fourier pour des fonctions de o? On pro ?te de l'occasion pour indiquer qu'il y a plusieurs manières de dé ?nir la transformation de Fourier sur la méthode très hilbertienne ? de N Wiener notamment Rien de ce qui va être présenté n'est vraiment nouveau mais il nous semble que cela mériterait d'être mieux connu et d'appara? tre au moins sous forme de commentaire dans les cours de Calcul intégral Seules les fonctions de la variable réelle sont considérées est muni de la mesure de Lebesgue et désigne l'espace des classes de fonctions à valeurs réelles ou complexes de puissance -ième intégrable z Partie I La transformation de Fourier dans z Partie II La transformation de Fourier dans z Partie III La transformation de Fourier dans z Bibliographie Partie I La transformation de Fourier dans Une fois que l'espace de a été dé ?ni et étudié l'introduction de la transformée de Fourier http www rms-math com print php id article Type enonce Num Mode CImprimer Page sur ne pose pas de grandes di ?cultés à l'étudiant Ce chapitre du cours est l'occasion de donner les premières propriétés de cette transformation appliquée aux fonctions intégrables sur de fournir quelques exemples de transformées de fonctions et des méthodes de calcul pour y arriver et en ?n de voir ce que donne la transformée de Fourier d'une fonction lorsque la transformée en question est intégrable introduction à la transformée de Fourier inverse Partie II La transformation de Fourier dans Dans tout cours de Calcul intégral on insiste contre-exemples à l'appui sur le fait que et ne se comparent pas l'un des deux n'est pas inclus dans l'autre Or voilà que le chapitre suivant concernant la transformation de Fourier se propose de dé ?nir celle-ci sur Pour ce faire après avoir souligné qu'une formule comme ne saurait être utilisée dès lors que il est habituel dans les cours en France du moins d'utiliser un résultat de prolongement d'application linéaire continue Étant donné un sous-espace vectoriel de fonctions intégrables dense dans l'application linéaire continue particulière qu'est la transformation de Fourier a les propriétés requises pour être prolongée sans ambigu? té à par exemple On peut prendre pour l'espace de L Schwartz ? des fonctions dites à écrasement rapide à l'in ?ni ? l'espace de N Wiener des fonctions telles que et soient dans l'espace contenant les deux