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Echantillonnage et estimation

Chapitre Echantillonnage et Estimation Echantillonnage C Population ? Une Population est toute collection d ? objets à étudier ayant des propriétés communes appelés des individus ou unités statistiques ? Une population peut être in ?nie ou ?nie de taille N ? La statistique traite des propriétés des populations plus que celles d ? individus particuliers Échantillon ? L ? étude de tous les individus d ? une population ?nie s ? appelle un recensement Lorsque l ? on observe qu ? une partie de la population on parle de sondage ? La partie étudiée s ? appelle l ? échantillon ? Il existe plusieurs méthode de construction d ? un échantillon dont la plus simple est celle de l ? échantillonnage aléatoire simple correspondant à des tirages équiprobables et indépendants les uns des autres ? Sa taille est notée n C Échantillon ? Si on prélève au hasard n individu dans une population ?nie de taille N et on veut étudier une caractéristique X de la population ? X est une v a appelée v a mère ou parente ? À chaque individu i tiré on associe une v a Xi dont on observe une seule réalisation xi Alors les Xi sont des v a ayant toutes la même distribution celle de X ? On suppose que les Xi sont mutuellement indépendantes ou au moins indépendantes deux à deux Échantillon ? On a donc la double conception suivante Les valeurs observées x x ? xn constituent n réalisations indépendantes d ? une v a X ou encore une réalisation unique du n-uple X X ? Xn o? les Xi sont n v a indépendantes et de même loi ? On note par la suite un échantillon le n-uple X X ? Xn C Les statistiques ? La théorie de l ? échantillonnage se propose d ? étudier les propriétés du n-uple X X ? Xn et des caractéristiques le résumant les statistiques à partir de la distribution supposée connue de la variable parente X et d ? étudier en particulier ce qui se passe lorsque la taille de l ? échantillon est élevée Les statistiques ? Il est d ? usage dans la pratique de résumer les n valeurs d ? un échantillon x x ? xn par quelques caractéristiques simples telles que moyenne plus grande valeur etc ? Ces caractéristiques sont elles-mêmes des réalisations de v a issues de X X ? Xn ? Une statistique T est une v a fonction mesurable de X X ? Xn T f X X ? Xn C Les statistiques ? Exemples ? La moyenne empirique d ? un échantillon X X ? Xn est ? X n n i Xi ? Sa variance empirique est ? S n n i Xi ?? X La distribution de la moyenne ? Pour une réalisation x x ? xn la statistique X ? prendra la valeur x n n i xi ? Cette valeur est la moyenne arithmétique ? Pour une autre réalisation dans