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Chap i ii int calcul indiciel

Université Mécanique des milieux continus Larbi BENM'HIDI Oum El Bouaghi Chapitre Introduction à la mécanique des milieux continus Chapitre Calcul tensoriel et notation indicielle Master I CM - Introduction à la MMC Dé ?nitions -Mécanique Il s ? agit de la branche de la physique qui décrit les mouvements et les équilibres d ? un système - Milieu On ne parle pas ici de matériau mais de milieu On est donc en présence d ? une théorie abstraite ? qui est dans un premier temps éloigné de la réalité physique et expérimentale Ceci permet à cette théorie de rester le plus général possible Elle ne se spécialisera en di ?érentes branches traitant de di ?érents matériaux que plus tard dans le cours -Continu La notion de continuité est intimement liée à celle d ? échelle On va présenter une théorie abstraite mais on doit garder à l ? esprit qu ? elle sera appliquée au monde physique Tous les matériaux réels sont discontinus à petite échelle molécules cristaux grains de sables etc Un matériau réel sera donc considéré comme continu cette notion sera précisée à condition que l ? on soit su ?samment loin ou su ?samment myope D ? une manière plus générale la MMC est une construction mathématique On dira qu ? il s ? agit d ? une modélisation En d ? autres termes c ? est une représentation abstraite du monde physique qui repose sur des hypothèses que nous savons plus ou moins vraies selon les applications Comme toujours dans les sciences physiques le critère royal pour déterminer si la théorie est valide dans un cas donné est bien connu il s ? agit de l ? expérimentation Positionnement de la MMC au sein de la mécanique La plus simple des mécaniques modernes ? est la mécanique du point fondée sur les résultats de Newton Elle permet de déterminer la position la vitesse et l ? accélération d ? un point matériel ? c'est-à-dire d ? un objet mathématique sans forme ? ni volume ? mais muni d ? une masse et soumis à des forces C ? est la théorie utilisée par exemple pour étudier le mouvement des planètes sur leur orbite L ? étape suivante et la mécanique du solide indéformable Elle reprend les ingrédients de la mécanique du point mais ajoute au système d ? étude une forme ? et donc un volume et une distribution spatiale de la masse Cette mécanique introduit les notions de rotation d ? inertie et de moment Elle s ? applique par exemple très bien à l ? étude des systèmes articulés robotique etc ou à l'étude micromécanique du sable L ? ajout essentiel de la MMC est d ? introduire la possibilité pour le système de se déformer Bien entendu ceci complique énormément la théorie et va notamment rendre nécessaires des outils mathématiques beaucoup plus sophistiqués que pour les deux premières mécaniques Hypothèses principales de la MMC La MMC est une mécanique dite classique ? ce