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Cnc 2002 psi maths 2 ROYAUME DU MAROC Ministe re de l ? E ? ducation Nationale Enseignement Secondaire et Technique Ministe re de l ? Enseignement Supe ?rieur de la Formation des Cadres et de la Recherche Scienti ?que Concours National Commun d ? Admissio

ROYAUME DU MAROC Ministe re de l ? E ? ducation Nationale Enseignement Secondaire et Technique Ministe re de l ? Enseignement Supe ?rieur de la Formation des Cadres et de la Recherche Scienti ?que Concours National Commun d ? Admission aux Grandes E ? coles d ? Inge ?nieurs Session E ? PREUVE DE MATHE ? MATIQUES II Dure ?e heures Concours PC Cette e ?preuve comporte pages au format A en plus de cette page de garde L ? usage de la calculatrice est interdit CL ? e ?nonce ? de cette e ?preuve particulie re aux candidats du concours PC comporte pages L ? usage de la calculatrice est interdit Les candidats sont informe ?s que la pre ?cision des raisonnements ainsi que le soin apporte ? a la re ?daction seront des e ?le ?ments pris en compte dans la notation Les candidats pourront admettre et utiliser le re ?sultat d ? une question non re ?solue s ? ils l ? indiquent clairement sur la copie Il convient en particulier de rappeler avec pre ?cision les re ?fe ?rences des questions aborde ?es Notations et rappels ? Soit Ò un entier naturel supe ?rieur ou e ?gal a On note Ò ?Ã l ? algebre des matrices carre ?es ? d ? ordre Ò a coef ?cients dans Ã Ã Ê ou la matrice identite ? de Ò ?Ã est note ?e ÁÒ et ? Ò est la matrice dont tous les coef ?cients valent ? On munit Ò ?Ã de la norme de ? ?nie pour ? par Ò max Ò ? On admet que si et sont deux e ?le ?ments de Ò ?Ã alors Ã On de ?signe en ?n par Ò l ? ensemble des matrices ? dont tous les coef ?cients sont positifs ou nuls et ve ?ri ?ent Ò Ò I E ? tude d ? exemples Le cas de la dimension Soit ? ? ?Ê On pose et Ã a Donner une condition ne ?cessaire et suf ?sante sur et pour que soit dans Ã b Dans cette question et la suivante on suppose que et que de ?terminer les valeurs propres de ainsi que les sous-espaces propres associe ?s est-elle diagonalisable ? dans ?Ê Si oui la diagonaliser c E ? tudier alors la convergence et calculer la limite e ?ventuelle de la suite ? Ô Ô ? E ? tude d ? un exemple en dimension n ? Soient et deux re ?els avec ? et ? Ò ?Ê la matrice dont les coef ?cients diagonnaux sont e ?gaux a les autres valant a Calculer ? Ò pour tout ? ? b Exprimer ? a l ? aide des matrices ÁÒ et ? Ò puis en de ?duire pour tout Ô ? ? une expression de ? Ô comme combinaison line ?aire de ÁÒ et ? Ò Ã c On suppose que ? Ò et que Ò Montrer que et en de ?duire le comportement de