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Crpe de mathematiques sujet blanc

Concours de recrutement de professeurs des écoles Exemple de sujet épreuve écrite de mathématiques À compter de la session les épreuves du concours sont modi ?ées L ? arrêté du avril publié au journal o ?ciel du avril ?xe les modalités d ? organisation du concours et décrit le nouveau schéma des épreuves ? Ministère de l ? éducation nationale www education gouv fr Juillet CConcours de recrutement de professeurs des écoles Exemple de sujet épreuve écrite de mathématiques ? Ministère de l ? éducation nationale www education gouv fr Juillet CPREMIERE PARTIE PROBLÈME points AUTOUR DU THÉORÈME DE PYTHAGORE L ? objet de ce problème est la démonstration par une méthode classique du théorème de Pythagore et son utilisation pour calculer des distances une situation concrète Ce problème comprend deux parties A et B Ces deux parties sont indépendantes Dans tout le problème on désigne par Théorème de Pythagore l ? énoncé suivant Dans un triangle rectangle la somme des carrés des côtés de l ? angle droit est égale au carré de l ? hypoténuse PARTIE A démonstration par la méthode attribuée à Abraham Gar ?eld - e président des États-Unis Dans la ?gure ci-dessous les triangles ABC BDE BCE sont rectangles respectivement en A D et B On pose AB DE c AC BD b BC BE a Justi ?er que les points A B et D sont alignés Justi ?er que le quadrilatère ADEC est un trapèze Exprimer de deux manières di ?érentes l ? aire du trapèze ADEC en fonction de a b et c En déduire l'égalité a ? b ? c ? Partie B une application du théorème de Pythagore La courbure terrestre limite la vision lointaine sur Terre Plus l ? altitude du point d ? observation est élevée plus la distance théorique de vision est grande Dans cet exercice la Terre est assimilée à une sphère de centre A de rayon km La ?gure ci-dessous représente une partie d ? une vue en coupe de la Terre qui ne respecte pas les échelles C désigne le cercle de coupe de centre A et de rayon km Figure C CLe point O représente l ? emplacement des yeux d ? un observateur Le point M est le point d ? intersection de la demi-droite AO et du cercle C On considère que M se situe au niveau de la mer la longueur OM représente alors l ? altitude à laquelle se trouvent les yeux de cet observateur La droite OV est tangente en V au cercle C Le point V représente le point limite de vision de l ? observateur La longueur OV est appelée portée visuelle théorique Les points O M et V étant dé ?nis comme ci-dessus montrer que la portée visuelle théorique OV exprimée en km est donnée par la formule OV OM ? OM o? OV et OM sont exprimées en km Calculer la portée visuelle théorique d ? un observateur placé au niveau de la mer et