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Devoir iii ait tizi youssef

Devoir III INTRODUCTION A LA GEOMETRIE DIFFERENTIELLE Université Cadi Ayyad Faculté des Sciences et Techniques Marrakech Département de Mathématiques Nom et Prénom Youssef AIT TIZI Filière Geometrie analyse et applications C Soit S u v ?? R u v ? Montrons que S est une sous- variété Posons f u v u v ?? sa di ?érentielle est donnée par d u v f u v On voit clairement que ?? u v ?? S d u v f Alors Alors f est une submersion sur S puisque n ? appartient pas a S ? Montrons que T S u v ??tv tu u v ?? S t ?? R Posons m u v et K k k On sait que Alors TmS K ?? R K m T S m K ?? S ? R K ?? TmS ?? ?? m ?? S K ?? TmS u v k u k v Résolvant le système en utilisant les règles de Cramer Posons t det u k v k Alors Et donc en e ?et u k t ?? k t u v ??k t ?? k t v T S u v ??tv tu u v ?? S t ?? R ? Montrons que T S est di ?éomorphe à S ? R On dé ?nit l ? application suivante T S ?? ? S ? R u v ??tv tu ?? ? u v t L ? application est de C car ses composantes le sont en plus elle est bijective sa bijection est donnée par ?? S ? R ?? ? T S u v t ?? ? u v ??tv tu qui est également de classe C Alors est un di ?éomorphisme entre T S et S ? R et alors les deux ensembles sont di ?éomorphes ? Donnons le champ de vecteur X sur S CDé ?nissons le champs de vecteurs par X S ?? ? T S u v ?? ? ??v u On a évidemment ?? u v ?? S u v X u v De plus il ne s ? annule en aucun point de S d ? o? c ? est bien un champ de vecteurs sur S ? Le ot du champ de vecteurs X Et Donc Dt m ?? S t ?? a m b m S D X t m m ?? S et t ?? R S ? R D X ?? ? S t m ?? ? t m est bien dé ?nie De plus on peut l ? expliciter comme suit S ? R ?? ? S u v t ?? ? e ??tv etu Soit M une sous-variété de Rn de dimension k etm ?? M Montrons que c c ?? ?? ? M de classeC c m est un sous-espace vectoriel de Rn Posons selon le cours TxM c c ?? ?? ? M de classeC c m Soit U une carte au voisinage de x avec x Posons T U ?? ?