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Solution devoir 1 Université de Batna Département de Mathématiques eme année Mastère Batna SOLUTION du DEVOIR N Théorie du contrôle stochastique Considérons l ? équation di érentielle ordinaire dx t Ax t dt x t x Rn o? A est une matrice d ? ordre n a Soit

Université de Batna Département de Mathématiques eme année Mastère Batna SOLUTION du DEVOIR N Théorie du contrôle stochastique Considérons l ? équation di érentielle ordinaire dx t Ax t dt x t x Rn o? A est une matrice d ? ordre n a Soit P une matrice dé ? nie positive solution de l ? équation AT P P A In Soit la fonction V x xT P x o? x est la solution du système dx t Ax t dt Comme P est défnie positive alors V x x Rn Calculons V x On a V x xT AT P P A x xT Inx kxk D ? aprés le théorème de stabilité de Lyapunov on déduit que l ? origine du système dx t Ax t dt est asymptotiquement stable b Supposons maintenant que l ? origine du système dx t Ax t dt est asymptotiquement stable On dé ? nit Z P exp AT t exp At dt On a Z Z AT P P A AT exp AT t exp At dt exp AT t exp At dt A Z AT exp AT t exp At exp AT t exp At A dt Z d exp AT t exp At dt dt exp AT t exp At j In car A est stable alors P est la solution de l ? équation AT P P A In Considérons l ? équation di érentielle stochastique X m dx t Ax t dt Bix t dwi t i x t x Rn et B sont des matrices et wi t i m sont des mouvement Browniens Montrons que l ? origine de l ? équation est stable en moment d ? ordre si l ? équation X m AT P P A BiT P Bi I i admet une solution dé ? nie positive P Considérons la fonction V x xT P x o? x est la solution du système Calculons LV x On a CXm LV x xT AT P P A x xT BiT P Bix i Xm xT AT P P A xT BiT P Bi x i xT x kxk Alors d ? aprés le théorème de Lyapunov de stabilité stochastique on déduit que l ? origine de l ? équation est stable en moment d ? ordre C