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Geometrie pdf COURS DE GEOMETRIE Licence de mathématiques ième année Université de Bourgogne C CTable des matières Géométrie a ?ne Stuctures fondamentales Groupe anneau corps Espace vectoriel Rappels de géométrie vectorielle Sous espace vectoriel engendré

COURS DE GEOMETRIE Licence de mathématiques ième année Université de Bourgogne C CTable des matières Géométrie a ?ne Stuctures fondamentales Groupe anneau corps Espace vectoriel Rappels de géométrie vectorielle Sous espace vectoriel engendré - dimension Application linéaire Espace a ?ne Barycentre - Repère a ?ne Applications a ?nes C TABLE DES MATIÈRES CChapitre Géométrie a ?ne Dans ce cours sauf mention contraire les espaces vectoriels sont réels le corps des scalaires est R et de dimension ?nie La plupart des exemples se feront en dimension ou Stuctures fondamentales Groupe anneau corps Dé ?nition Structure de groupe Un groupe G est la donnée d ? un ensemble non vide G et d ? une opération ou loi interne G? G ? G x y ? x y véri ?ant les axiomes G la loi est associative ??x y z ?? G x y z x y z G il existe un élément neutre e ?? G ??x ?? G e x x e x G tout élément a un symétrique pour ??x ?? G ??x ?? G x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Un groupe est commutatif ou abélien si de plus ??x y ?? G x y y x x e Remarques Un sous-ensemble non vide H de G est un sous-groupe de G si c ? est un groupe pour c ? est à dire stable pour la loi et le passage au symétrique Nota Bene Un sous-ensemble H est un sous-groupe de G s ? il n ? est pas vide et si x y ?? H ?? x y ?? H et x ?? H ?? x ?? H x symétrique de x On utilise souvent les opérations notées addition ou somme et ? multiplication ou produit à la place de l ? opération Avec l ? addition l ? élément neutre est noté le symétrique de x est noté ??x et appelé opposé Avec la multiplication ? ou ou rien du tout l ? élément neutre est souvent noté le C CHAPITRE GÉOMÉTRIE AFFINE symétrique de x appelé inverse est noté x ?? voire x pour les nombres On omet souvent de mentionner l ? opération lorsqu ? il n ? y a pas d ? ambigu? té Exemples Z Q R C Q ? ? R ? ? C ? ? Q ? ? R ? ? sont des groupes abéliens L ? ensemble Bij E des bijections d ? un ensemble E muni de la composition est une groupe qui n ? est pas abélien dès que E possède au moins trois éléments L ? ensemble GLn R des matrices réelles n ? n muni du produit des matrices est un groupe non abélien dès que n ? En revanche N et Z ? ne sont pas des groupes l ? ensemble des nombres décimaux non nuls i e avec un nombre ?ni de décimales muni du produit non plus pourquoi pas Dé ?nition Structures d ?