Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Les cercles de morley euler mannheim et miquel pdf

LES CERCLES DE MORLEY EULER MANNHEIM ET MIQUEL Jean-Louis AYME Résumé Nous présentons quatre preuves originales et purement synthétiques concernant les cercles de Morley Euler Mannheim et Miquel Ces preuves ont pour ambition de rendre plus transparent ces résultats Tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement Un cercle de Morley Figure UN CERCLE DE MORLEY VISION A I B P J Q Traits et Donné deux cercles sécants I J les centres respectifs de A B les deux points d'intersection de et P Q deux points resp de le cercle passant par A P Q les points I B Q d'une part et J B P d'autre part sont alignés si et seulement si passe par I et J CVISUALISATION NÉCESSAIRE M A I B P J Q ? Notons et Tb la tangente à en B M le second point d'intersection de Tb avec ? Par dé ?nition d'une tangente BM ? BPJ ? D'après Thalès Triangle rectangle inscrit dans un cercle M I et P sont alignés ? Conclusion partielle d'après Miquel Le théorème du pivot cf Annexe appliqué au triangle MBI avec les points B sur MB Q sur BI et P sur IM passe par I ? Mutatis mutandis nous montrerions que passe par J ? Conclusion passe par I et J Scolie un point milieu L A U M I B P J Q ? Notons L le second point d'intersection de IBQ avec M le second point d'intersection de JBP avec et U le second point d'intersection de LAM avec C ? Les cercles et les points de base P et A les moniennes JPB et UAL conduisent au théorème de Reim il s'en suit que ? Conclusion d'après Thalès La droite des milieux appliqué au triangle MLB JU BL U est le milieu de LM VISUALISATION SUFFISANTE A I B P P' ' J Q Q' ? Donné passe par I et J i e les points A P Q I et J sont cocycliques ? Notons et P' le second point d'intersection de BJ avec Q' le second point d'intersection de BI avec ? D'après la visualisation nécessaire les points A P' Q' I et J sont cocycliques ? Notons ' ce cercle ? Les cercles et ' ayant les trois points A I et J en communs sont confondus en conséquences les points P et P' sont confondus les points Q et Q' sont confondus ? Conclusion les points I B Q d'une part et J B P d'autre part sont alignés Scolie est le A-cercle de Morley relativement au point d'intersection de A de et Note historique une preuve du résultat de Frank Morley - a été donné par Tobias Dantzig en Application au cercle des neuf points Figure VISION Tobias Dantzig Elementary proof of a theorem due to F Morley American Mathematical Monthly vol - Brianchon Poncelet Annales de Gergonne - théorème CA A C' B' B Traits et Donné C H C B B A A'