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Markov Cha? nes de Markov et applications Raphael Lachieze-Rey ? février M MM Paris Descartes - Table des matières Espérances et probas conditionnelles Familles sommables et théorème de Fubini Formule des probabilités totales Cha? nes de Markov homogènes

Cha? nes de Markov et applications Raphael Lachieze-Rey ? février M MM Paris Descartes - Table des matières Espérances et probas conditionnelles Familles sommables et théorème de Fubini Formule des probabilités totales Cha? nes de Markov homogènes Exemples et dé ?nitions Loi des marginales TD Cha? nes de Markov homogènes Temps d ? absorption Temps d ? arrêt Probabilités et temps d ? absorptions TD Temps d ? arrêt Classi ?cation des états Récurrence et transience TD Classes d ? équivalence Distributions invariantes Théorème ergodique Existence TD Mesures invariantes Convergence à l ? équilibre Périodicité Simulation Algorithme de Metropolis TD Convergence et simulation TD Exercices TP - Moteur de recherche Construction du ?? Web ? Calcul de PageRank via les valeurs propres Estimation du PageRank avec un surfeur aléatoire Interprétation ? raphael lachieze-rey parisdescartes fr C Construction du moteur de recherche Ra ?nements TP Simulation de polymères Package geometry Evolution libre du polymère Test de polymères TP Problème du voyageur de commerce Préliminaires Algorithme d ? optimisation Etude de la convergence Estimation CODE COULEUR En noir l ? essentiel En magenta exemples explications exercices commentaires preuves Rappels Espérances et probas conditionnelles On rappelle la formule de probabilités conditionnelles P A B P A ?? B P B pour P B On note parfois PB A P A B rappelons que PB est une mesure de probabilités à part entière Le double conditionnement se traite ainsi P A ?? B ?? C P A ?? B C P C PC A ?? B P C PC A B PC B P C P A B C P B C P C i e B ??C Etant donné des variables aléatoires X et Y à valeurs réélles E X Y Y est une variable aléatoire qui est entièrement déterminée par Y Par exemple si X Y sont des variables de Bernoulli de paramètre indépendantes E X Y Y E X Y E XY Y E Y Y EX Y EX Y Y Y Y Familles sommables et théorème de Fubini Etant donné un espace mesuré et une fonction f ? R l ? intégrale n ? a de sens que si f est intégrable f x dx f x dx ? C exemple de x ? sin x x sur ? ? R Par contre si f alors f x dx ?? R ?? ? est dé ?ni sans ambiguité De même étant donné une série an n ?? N ? an n n ? a de sens que si an ou si an n est sommable c ? est-à-dire ? an ? n Pour ce qui est de l ? interversion le théorème de Fubini nous dit que pour une fonction bi-mesurable f x y sur un produit d ? espaces mesurés ? si f x y ou si f x y dx dy f x y dy dx ou si de manière équivalente f x y dx dy ? ? f x y dx dy ? Les fonctions positives peuvent