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Mathematiques 1 RÉPUBLIQUE DU CAMEROUN Paix-Travail-Patrie UNIVERSITÉ DE YAOUNDÉ I ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE YAOUNDÉ I DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES REPUBLIC OF CAMEROON Peace-Work-Fatherland UNIVERSITY OF YAOUNDE I HIGHER TEACHERTRAINING COLLEGE OF YAOU

RÉPUBLIQUE DU CAMEROUN Paix-Travail-Patrie UNIVERSITÉ DE YAOUNDÉ I ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE YAOUNDÉ I DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES REPUBLIC OF CAMEROON Peace-Work-Fatherland UNIVERSITY OF YAOUNDE I HIGHER TEACHERTRAINING COLLEGE OF YAOUNDE I DEPARTMENT OF MATHEMATICS MATHÉMATIQUES POUR PHYSIQUE II UV MA NGONGO Isidore Séraphin Edition - ENS - Promotion CTable des matières Fonctions spéciales Fonctions hypergéométriques de Gauss Fonction hypergéométrique de base Fonction hypergéométrique généralisée Série hypergéométrique Equation et fonction de Bessel Equation et polynômes de Legendre Fonctions de Legendre associées Exercices Inégalités Inégalité de Cauchy Inégalité de H? lder Inégalités de Minkowski Inégalité de Jensen Exercices Méthode de quadrature de Gauss Introduction Principe général Théorème fondamental Principales con ?gurations de quadratures de Gauss Généralisation pour un intervalle fermé Méthode de Gauss-Legendre CChapitre Fonctions spéciales Fonctions hypergéométriques de Gauss L ? origine de la fonction hypergéométrique de Gauss se trouve au début du eme siècle lorques Gauss étudie l ? équation di ?érentielle suivante appelée équation di ?érentielle de Gauss x ?? x F c ?? a b x F ?? abF o? a b c ?? C Cette équation linéaire qui provient de la physique a trois points singuliers en et ? On recherche des solutions en série entière n F x ? ckxk k Ck k a k b Ck k c k En faisant C on obtient F a b c x ? ? k a k b k c k k xk o? k désigne le symbole du I Pochhammer k k ?? ?? C k ?? N ? k k Théorème On suppose c ?? Z La série entière F a b c x ? ? k a k b k c k k xk est convergente pour x Les deux fonctions F a b c x et x ??cF a ??c b ??c ??c ?? x forment une base de l ? espace des solutions de l ? équation Théorème Si Reb Rebc on a F a b c x tb ?? ?? t c ??b ?? ?? xt ??adt Fonction hypergéométrique de base Dé ?nition ? F ? ? z ? k k ? k ? k zk k CNGONGO Isidore Séraphin - MA Fonction hypergéométrique généralisée Dé ?nition ? Fq p ? ?p ? k p ? i i k zk ? qj ? j kk Série hypergéométrique Notation On pose F a b c z a b z a a b b z a a a b b b z c c c c c c ? ? n a a a a n ?? b b n c c c b n ?? b n ?? zn ? ? ? nzn n On peut réécrire cela sous la forme F a b c z ? c ? a ? b ? ? n ? a n ? b n zn ? c n ? n Cette serie converge absolument lorsque z Confère théorème de d ? Alembert Rappel Convergence absolue ? ? La série Un converge absolument si ?? ? tel