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Corrige partiel UNS - Probabilités pour l ? informatique Partiel du mars Durée h L - Consignes ? L ? usage de tout document ou matériel électronique est interdit ? Dans l ? exercice les réponses devront être écrites sous forme d ? expressions faisant inte

UNS - Probabilités pour l ? informatique Partiel du mars Durée h L - Consignes ? L ? usage de tout document ou matériel électronique est interdit ? Dans l ? exercice les réponses devront être écrites sous forme d ? expressions faisant intervenir les coe ?cients binomiaux On ne demande pas de calculer explicitement ces expressions ? Dans les exercices et les résultats seront présentés sous forme de fractions irréductibles ? Toutes les réponses doivent être rédigées convenablement dûment justi ?ées ? Il y a des questions simples cachées parmi les questions compliquées lisez le sujet en entier ? Barême indicatif Exercice Points Dénombrement Exercice On constitue un comité de personnes choisies parmi femmes et hommes Combien y a-t-il de comités possibles Même question si le comité contient hommes et femmes Même question si le comité compte au moins femmes Corrigé de l ? Exercice Il s ? agit d ? une combinaison de personnes parmi les possibles il y en a On choisit d ? abord femmes parmi les puis hommes parmi les il y a ? comités possibles L ? ensemble complémentaire est celui des comités avec au plus une femme Il y a comités sans femme et ? comités avec une femme Il y a donc ?? ?? ? comités avec au moins deux femmes Exercice Soit n ? un entier Calculer nn k k k On pourra dériver la fonction x ? x n CCorrigé de l ? Exercice La formule du binôme de Newton nous dit que pour tout x ?? R on a x n est nn k k n k kxk n k xk La dérivée On a donc pour du terme de tout x ?? R droite est n x n ?? La dérivée du terme de gauche n n kxk ?? n x n ?? k k En particulier pour x on obtient n k k n k n n ?? Probabilités Exercice Une urne contient boules numérotées de à On tire fois de suite une boule avec remise c ? est-à-dire qu ? on remet la boule dans l ? urne après chaque tirage Quel est l ? univers de cette expérience Quel est son cardinal Déterminer les probabilités d ? obtenir a Au moins une fois le nombre b Au moins deux fois le nombre c Quatre nombres di ?érents d Quatre nombres dans un ordre strictement croissant Corrigé de l ? Exercice L ? univers de cette expérience est qui est de cardinal a Notons A l ? événement on obtient au moins une fois le nombre Son complémentaire est Ac tous les nombres sont di ?érents de Calculons le cardinal de Ac Pour chacun des nombres on a possibilités donc on a Card Ac Finalement on a P A ?? b Notons B l ? événement on obtient au moins deux fois le nombre Son complémentaire est Bc on obtient zéro ou une fois le nombre De même qu ? à la question précédente il y