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sujets BÉCÉAS Banque d ? Épreuves des Concours des Écoles d ? Actuariat et Statistique Session Épreuve de mathématiques Durée h Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont dé ?nies sur le même espace probabilisable A On note P

BÉCÉAS Banque d ? Épreuves des Concours des Écoles d ? Actuariat et Statistique Session Épreuve de mathématiques Durée h Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont dé ?nies sur le même espace probabilisable A On note P une probabilité sur cet espace On note E X et Var X les espérance et variance pour la probabilité P d ? une variable X Si A ?? A on note A son indicatrice c ? est-à- dire l ? application qui à chaque ? ?? associe si ? ?? A et sinon Si A ?? A est de probabilité non nulle on note PA la probabilité conditionnelle sachant A et s ? il y a lieu EA X l ? espérance pour PA d ? une variable aléatoire X n On pose pour tout entier naturel n non nul Hn k k L ? objet du problème est principalement l ? étude de la variable aléatoire égale au maximum de n variables indépendantes toutes de même loi géométrique La partie I regroupe des questions indépendantes dont les résultats seront utilisés par la suite Mathématiques Mercredi mai matin Page CBÉCÉAS Partie I Préliminaires Un résultat bien connu a Montrer que la suite de terme général un Hn ?? ln n est monotone b En déduire l ? existence d ? un réel noté ? pour lequel on a quand l ? entier n tend vers ? Hn ln n ? o Un résultat de bornitude Soit f une fonction continue de IR dans IR On suppose que la fonction f a une limite nulle en ? Montrer que la fonction f est bornée Une formulation intégrale des moments d'une variable positive Soit X une variable aléatoire à valeurs dans IN a Établir pour tout entier naturel N l ? égalité N N P X k k P X k N P X N k k b On suppose que la variable X possède une espérance i Établir l ? égalité lim N P X N N ? ? ii En déduire que la série P X n converge et qu ? on a l ? égalité ? E X P X n n c On suppose réciproquement que la série P X n converge Montrer que la ? variable X possède une espérance qu ? on a l ? égalité E X P X n n d i Véri ?er que la fonction qui à chaque réel t associe P X t est continue par morceaux sur IR ii Montrer que X a une espérance si et seulement si l ? intégrale ? P X t dt ? converge et que dans ce cas on a l ? égalité E X P X t dt e Montrer que X a un moment d ? ordre si et seulement si l ? intégrale ? t P X t dt ? converge et que dans ce cas on a l ? égalité E X t P X t dt Mathématiques Mercredi