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Itsa1998 1 ECOLE NATIONALE D ? ECONOMIE APPLIQUEE ENEA DEPARTEMENT DE STATISTIQUE BP DAKAR - SENEGAL INSTITUT SOUS REGIONAL DE STATISTIQUE ET D ? ECONOMIE APPLIQUEE YAOUNDE - CAMEROUN ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJ

ECOLE NATIONALE D ? ECONOMIE APPLIQUEE ENEA DEPARTEMENT DE STATISTIQUE BP DAKAR - SENEGAL INSTITUT SOUS REGIONAL DE STATISTIQUE ET D ? ECONOMIE APPLIQUEE YAOUNDE - CAMEROUN ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR DES TRAVAUX STATISTIQUES VOIE A PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES DUREE HEURES EXERCICE N On note E l'équation x - x - Montrer que E admet solutions réelles x x et x Montrer que et que x x x x x x x x x x x x x On pose x cos Déterminer les valeurs exactes de x x et x sous forme trigonométrique CEXERCICE N ò Soit In n ? e ??x sin x dx n ?? N n ? Montrer que la suite In est une suite géométrique en cherchant une relation de récurrence entre In et In Calculer la raison q de cette suite et le premier terme I La suite In est- elle convergente Calculer en fonction de n ò Soit Sn n ? e ?? x sin x dx Etudier la convergence de la suite Sn Calculer In en intégrant par parties et retrouver le fait que In est une suite géométrique Calculer I ? I ? ? In en fonction de n PROBLEME Soit f x sinx cosx x ?? - ? ? Montrer que f est une bijection de l'intervalle I - ? ? sur un intervalle J à déterminer Etudier la continuité et la dérivabilité de la bijection réciproque f ?? de f sur J Calculer f ?? ?? f ?? f ?? et f ?? ' o? f ?? ' est la fonction dérivée de f ?? Calculer f ?? ' x sur l'intervalle de dérivabilité de f ?? C Déduire de ce qui précède la valeur exacte de chacune des intégrales suivantes ò ò dx et ?? x ?? dx ?? x Montrer que ?? x ?? ?? cos f ?? x x ?? x et sin f ?? x x ?? ?? x Montrer par le calcul que l'équation f x f ?? x dans l'intervalle ? êé ?? ? ? úû n'admet pas de solution x Montrer que l'équation dans ? et que f x x admet une solution unique y Soit x h x cosx sin x ?? x ??R Montrer que h F E F E et que ??x ?? h' x ? En déduire un encadrement de f x par deux fonctions a ?nes dépendant de lorsque x ?? z Calculer sin cos sin cos sin cos sin cos sin F E cos - sin F E cos sin et cos en fonction de C A Soit la fonction F dé ?nie par òx F x ?? dt si x ?? ?? et par F ?? ?? ? et F ? sur ??t ?? x Montrer que F est dé ?nie et continue sur ?? et dérivable sur y Calculer F ' x si x ?? ?? z Montrer que F f ?? B x