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topologie corrige Planche no Topologie des espaces vectoriels normés Corrigé Exercice no Cas de la boule fermée Soit B u ?? E u Soient x y ?? B et ? ?? ?x ?? ? y ? x ?? ? y ? ?? ? Ainsi ?? x y ?? B ?? ? ?? ?x ?? ? y ?? B et donc B est

Planche no Topologie des espaces vectoriels normés Corrigé Exercice no Cas de la boule fermée Soit B u ?? E u Soient x y ?? B et ? ?? ?x ?? ? y ? x ?? ? y ? ?? ? Ainsi ?? x y ?? B ?? ? ?? ?x ?? ? y ?? B et donc B est convexe Cas de la boule ouverte Soit B u ?? E u Soient x y ?? B et ? ?? Puisque ? et x on en déduit que ? x D ? autre part ?? ? y et même et donc ?x ?? ? y ? x ?? ? y La boule unité fermée resp ouverte de l ? espace vectoriel normé E est un convexe de l ? espace vectoriel E Exercice no Puisque p et q p q p et donc p De même q D ? autre part q p p ?? a ère solution L ? inégalité est immédiate quand x ou y Soient x et y La fonction ln est concave sur ? Donc ln xy ln xp ln yq ln xp yq p q pq puis par croissance de la fonction ln sur ? xy xp yq pq ème solution L ? inégalité est immédiate quand y Soit y ?xé Pour x on pose f x xp p yq q ?? xy Puisque p la fonction f est dérivable sur ? et ??x f admet donc un minimum en x y p ?? égal à f ?? x xp ?? ??y f y p ?? yp p ?? yp p ?? ?? y p ?? y yp p ?? ?? p q pq Finalement f est positive sur ? et donc ??x ??y xy xp yq pq n n b Posons A ak p et B bk q k k Si A ou B est nul tous les ak ou tous les bk sont nuls et l ? inégalité est vraie On suppose dorénavant que A et B D ? après la question a n ak A p ? bk B q k n ak p bk q pA qB pA n ak p qB n bk q pA ? A qB ? B p q k k k n et donc ak bk k A pB q n p ak p k n bk q k q n Comme akbk k n ak bk on a montré que k n ?? ak k n bk k n ?? Rn akbk k n p n q ak p bk q Inégalité de H? lder k k c Jean-Louis Rouget Tous droits réservés http www maths-france fr CRemarque Quand p q on a bien p q et l ? inégalité de H? lder s ? écrit n akbk k n n ak bk inégalité de Cauchy-Schwarz k k c Soit ak k n bk k n ?? Rn D ? après l ? inégalité de H? lder on a n n n ak bk p