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Exercices a support concret equations du premier ordre

Équations di ?érentielles Exercices à support concret Équations di ?érentielles TP fonctions d'une variable réelle calcul di ?érentiel et intégral TP - TP On se propose d'étudier dans ce problème l'écoulement par gravité de l'eau contenue dans une cuve Les parties A et B sont indépendantes Partie A Résolution d'une équation di ?érentielle On considère l'équation di ?érentielle y ?? ??a y o? a est un réel strictement positif donné y une fonction de la variable réelle t y ?? la dérivée première de y par rapport à t Résoudre cette équation di ?érentielle on remarquera qu'elle est à variables séparables Déterminer la solution particulière prenant la valeur pour t On suppose que a ? montrer que la solution trouvée au A - peut s'écrire y F EBF ECF EDF EC ?? t ? F F F F F F F F On pose x t montrer que la solution trouvée au A - peut s'écrire y F EBF EC F ED ?? x F F F F F F Partie B Étude d'une fonction On considère la fonction ? de la variable réelle x dé ?nie sur par ? x F EBF EC F ED ?? x F F F F F F et sa courbe représentative c dans le plan muni d'un repère orthogonal O i ?? ?? j unités graphiques cm en abscisses et cm en ordonnées Étudier les variations de ? Trouver les équations des tangentes à c aux points d'abscisses x et x Résoudre algébriquement dans l'équation ? x Tracer la courbe c et ses tangentes aux points d'abscisses x et x F E F E F E F E F E F E F E F E F E F E F E F E CÉquations di ?érentielles Exercices à support concret Partie C Application numérique On considère une cuve cylindrique C pleine d'eau à l'instant t L'eau peut s'écouler par une conduite cylindrique C située à la base de la cuve les sections C et C sont des disques concentriques On désigne par S l'aire du disque de base de la cuve C exprimée en m s l'aire du disque de base de la conduite C exprimée en m C h t la hauteur d'eau dans la cuve C exprimée en m à l'instant t h t V ?? dh dt la vitesse d'écoulement de l'eau dans la cuve C exprimée en m s ?? C v la vitesse d'écoulement de l'eau dans la conduite C exprimée en m s ?? Le principe de la conservation de l'énergie permet d'obtenir la relation admise v gh o? g m s ?? Montrer que la fonction h véri ?e l'équation di ?érentielle dh dt ?? s S h On suppose maintenant que le diamètre de la cuve C est m et que le diamètre de la conduite C est m quelle est alors l'équation di ?érentielle obtenue On suppose qu'à l'instant t la hauteur d'eau en mètres est ho déterminer au bout de combien de