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Chap 05 Chapitre Géométrie élémentaire de l ? espace Objectifs ?? Rappeler les di ?érents modes de repérage dans l ? espace ?? Rappeler les notions de produit vectoriel de produit scalaire et de produit mixte ainsi que leurs applications ?? Étudier les dr

Chapitre Géométrie élémentaire de l ? espace Objectifs ?? Rappeler les di ?érents modes de repérage dans l ? espace ?? Rappeler les notions de produit vectoriel de produit scalaire et de produit mixte ainsi que leurs applications ?? Étudier les droites les plans et les sphères de l ? espace Sommaire I Les modes de repérage Repère cartésien Repère orthonormal Repère orthonormal direct Coordonnées cylindriques et coordonnées sphériques II Produit scalaire produit vectoriel Produit scalaire Produit vectoriel Produit mixte III Droites plans et sphères Le cas des plans Le cas des droites Sphères IV Exercices E désigne l ? espace usuel I Les modes de repérage Repère cartésien Dé ?nition Un repère R de l ? espace est la donnée d ? un point O appelé origine et de trois vecteurs ? ??u ? ??v ??w ? non coplanaires appelés vecteurs de base on note R O ? ??u ? ??v ??w ? et B ? ??u ? ??v ??w ? la base associée Les droites passant par O et de vecteurs directeurs respectifs ? ??u ? ??v ??w ? sont appelés les axes du repère et notées Ox Oy et Oz Soit ? ??a un vecteur quelconque de l ? espace il existe des réels x y z tels que ? ??a x ? ??u y ? ??v z ??w ? et le triplet x y z est unique Les réels x y z sont appelés coordonnées de ? ??a dans la base B MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC http pagesperso-orange fr Fradin Patrick CLes modes de repérage Chapitre Géométrie élémentaire de l ? espace z M ? ??a ?? ?? ? OM ?? w ? ? ??v ? ??u O y x FIG Coordonnées dans l ? espace Soit M un point de l ? espace les coordonnées de M dans le repère R sont par dé ?nition les coordonnées du vecteur ?? ?? ? OM dans la base ? ??u ? ??v ??w ? autrement dit M x y z ? ?? ?? ?? ? OM x ? ??u y ? ??v z ??w ? ?? ?? ? Si A x y z et B x y z sont deux points de E alors les coordonnées du vecteur AB sont x ?? x y ?? y z ?? z car ?? ?? ? AB ?? ?? ? OB ?? ?? ?? ? OA Le choix d ? un repère cartésien permet d ? identi ?er l ? espace à l ? ensemble R Repère orthonormal On choisit arbitrairement un repère R O ? ??u ? ??v ??w ? on dé ?nit alors la notion de distance et d ? or- thogonalité de la manière suivante Dé ?nition Soient ? ??a x y z et ? ?? b x y z deux vecteurs de E ?? La norme du vecteur ? ??a est ? ??a ?? x y z La distance d ? un point A à un point B de E est la norme du vecteur