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Devoir surveille 6 structure algebrique

MPSI et Lycée Moulay Youssef Rabat - MPSI Prépa G S High Tech Devoir commun surveillé n Lundi Mars Durée h Exercice n ? Montrer que ??n p ?? ? C p ?? k p ?? Cp n p k Montrer que le nombre de solutions de l ? équation E x x xp n d ? inconnue x x xp ?? p est C p ?? n p ?? Pour n un entier naturel non nul on note En n a Quel est le nombre d ? applications de En vers Ep b On note Fn p l ? ensemble des applications de En vers Ep croissantes et Sn p l ? ensemble des solutions de l ? équation E Montrer que l ? application dé ?nie de Fn p vers Sn p par ??f ?? Fn p f card f ?? card f ?? card f ?? p est bijective En déduire le nombre d ? applications de En vers Ep croissantes Problème On désigne par E l ? ensemble des suites réelles Pour u ?? E on note u n au lieu de un le terme général d ? indice n de la suite u On rappelle que E est un groupe commutatif dont l ? élément neutre est la suite nulle notée Pour u v ?? E on appelle convolé de la suite u par la suite v la suite u ? v ?? E dé ?nie par n ??n ?? u ? v n ? u k v n ?? k k La loi de composition interne ? sur E ainsi dé ?nie est appelée le produit de convolution des suites réelles Montrer que ? est commutative est associative On note e la suite réelle dé ?nie par e et ??n ?? ? e n Montrer que e est élément neutre pour ? C Montrer que ? est distributive par rapport à Que dire de la structure de E ? Soit r ?? ? ? et u la suite réelle dé ?nie par ??n ?? u n rn Montrer que u est inversible dans E ? et déterminer son inverse on désigne par F l ? ensemble des suites réelles nulles à partir d ? un certain rang c'est-àdire u ?? F si et seulement si ??N ?? tel que ??n ? N u n Montrer que F est un sous anneau de E ? Soit f E ? E une application dé ?nie par ??u ?? E f u v ?? E avec v est donnée par ??n v n ?? n u n Montrer que f est un automorphisme involutif de l ? anneau E ? On se propose maintenant de déterminer les éléments inversibles de l ? anneau E ? Soit u un élément inversible de l ? anneau E ? Montrer que u ?? Inversement soit u un élément de E tel que u ?? montrer que u est inversible Etude de l ? intégrité de l ? anneau E ?