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? Ch Tous Droits réservés Travaux Dirigés de l ? UE TAA Matrices et systèmes linéaires Ecole Internationale d ? ingénierie Pétrolière EIIP OPERATIONS SUR LES MATRICES Exercice Soit A ?? dé ?nis Si oui les calculer E et B ?? Les produits AB BA BT AT et AT B sont-ils bien Exercice Trouvez deux matrices carrées A et B de taille ? telles que AB BA Montrez que si B est un multiple réel de la matrice carrée identité de type alors AB BA pour toutes les matrices carrées d ? ordre Exercice E B B B Calculer les produits matriciels ?? ?? ?? ?? E E abc ac cba bb ca Exercice B B Soient deux matrices A B Calculer les matrices AB BA A B A ?? B A B A ?? B A B AB A B Exercice B B Trouver les matrices qui commutent avec A Faire de même avec B ab a Exercice B B B On considère les matrices a A b A c A t Déterminer An pour tout entier n ? Exercice B B Si A ?? ?? Montrer que pour tout entier naturel n non nul An n n ?? n ?? n Exercice B Considérons la matrice A ?? a Montrer que A A ?? I b Montrer par récurrence que ??n ?? N ? An n ?? A ?? n I Soit un une suite de nombres réels véri ?ant la relation de récurrence un aun bun ?? o? a et b sont des constantes B B B a Montrer que un un A un un ?? o? A ab B B b En déduire un un en fonction de u u c Si a et b ?? exprimer un en fonction de u et u C ? Ch Tous Droits réservés Exercice Calcul des puissances d ? une matrice E Soit A et soit B A ?? I a Calculer B B en déduire une formule de récurrence que l ? on démontrera pour Bn pour tout entier n b Développer B I n par la formule du binôme et simpli ?er c En déduire An Pour tout entier n Soit A Pour tout entier n calculer An en utilisant A ?? I DETERMINATION DU RANG D ? UNE MATRICE Exercice Chercher les rangs des matrices suivantes E ?? ?? ?? A ?? ?? ?? A ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? A ?? ?? A ?? Exercice ?? Chercher rg m ?? ?? ??m en fonction de m ?? C ?? m E ? Chercher rg ?? ? et le cas échéant donner une relation de dépendance linéaire entre les lignes ?? MATRICES INVERSIBLES Exercice E Soit A Calculer A et véri ?er que A A I o? I est la matrice identité ? En déduire que A est inversible et calculer son inverse Exercice Calculer les inverses des matrices suivantes E ?? ?? E E A B C D ?? ?? ?? ??