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Cnc maths2 mp 2017e1 Concours National Commun ?? Session ?? Filière MP L ? énoncé de cette épreuve particulière aux candidats de la ?lière MP comporte pages L ? usage de tout matériel électronique y compris la calculatrice est interdit Les candidats sont

Concours National Commun ?? Session ?? Filière MP L ? énoncé de cette épreuve particulière aux candidats de la ?lière MP comporte pages L ? usage de tout matériel électronique y compris la calculatrice est interdit Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation la clarté et la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l ? appréciation des copies Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées Si au cours de l ? épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d ? énoncé il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ? il est amené à prendre Le sujet de cette épreuve est composé d ? un problème Durée heures Problème Soit A ? une K-algèbre c ? est-à-dire A ? est un anneau et A est un K-espace vectoriel tel que ?? ?? K ?? x y ?? A x ? y x? y x? y avec K R ou K C Soit une norme sur A est appelée une norme sous-multiplicative de la K-algèbre A si pour tout x y ?? A x ? y ? x y Dans tout le problème n et p désignent des entiers naturels non nuls on rappelle que Mn p K est l ? ensemble des matrices à coe ?cients dans K ayant n lignes et p colonnes Si n p alors Mn p K est noté Mn K et on rappelle aussi que Mn K muni de ses opérations usuelles est une K-algèbre Pour toute matrice A de Mn K on note A In et ??n ?? N An AAn o? In est la matrice identité de Mn K GLn K désigne le groupe des matrices inversibles de Mn K Partie I Etude de quelques normes sur Mn K On dé ?nit sur Mn K la norme notée ? telle que ??A ai j ? i ? n ? j ? n ?? Mn K A ? max ? i ? n ? j ? n ai j Montrer que ?? A B ?? Mn K AB ? ? n A ? B ? Soit N une norme sur Mn K a On pose Eij ? i ? n ? j ? n la base canonique de Mn K Soit X xi j ? i ? n ? j ? n ?? Mn K Montrer que N X ? N Eij X ? ? i ? n ? j ? n b i Montrer que N est une fonction continue de Mn K muni de la norme ? vers R muni de la valeur absolue ii On pose S ? X ?? Mn K X ? Montrer qu ? il existe X ?? S ? tel que pour tout X ?? S ? N X ? N X iii En déduire qu ? il existe tel que pour tout X ?? Mn K X ?