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Factorisation lu et de cholesky

Factorisation LU et de Cholesky Références Algèbre linéaire numérique Grégoire Allaire simplement à véri ?er que L est bien triangulaire supérieure On trouve facilement que Théo Soit une matrice A aij ? i j ? n d ? ordre n dont toutes les sous- matrices diagonales F EB F F a a k F EC F F F EC F F ? k F EC F EC F F F F F EC F F F EC F F F ED F F ak akk sont inversibles Il existe un unique couple L U avec U triangulaire supé- F EB F F F EC F F F EC F F F EC F EC F F F F Ek ?? F EC F EC F EC F EC F EC lk k F F F F F F F F F F F EC F EC F F F F F EC F F F EC F ED F F F F ln k rieure et L triangulaire inférieure à diagonale unité tel que De la même manière on a que A LU Démonstration Supposons qu ? au cours de l ? élimination de Gauss il n ? y ait pas besoin de faire de permutations pour changer de pivot ie que tous les pivots naturels sont non nuls Alors on a A n En ?? E A avec F EB F F F EC F F F EC F F F EC F EC F F F F Ek F EC F EC F EC F EC F EC ??lk k F F F F F F F F F F F EC F EC F F F F F EC F F F EC F ED F F F F ??ln k et pour i ?? k n lik ai kk ak kk On pose U A n et L E ?? En ?? ?? Alors on a A LU et il reste F EB F F F EC F EC l F F F F F EC L F EC F EC F EC F F F F F F F F F EC F F F EC F ED F F F F ln lnn ?? Montrons maintenant que les pivots ne s ? annulent pas sous l ? hypothèse faite sur les matrices ? k On le fait par récurrence Le premier pivot a est non nul car égal à ? qui est inversible On suppose que tous les pivots jusqu ? à l ? ordre k ?? sont non nuls Montrons que le nouveau pivot akkk est aussi non nul Comme les k ?? premiers pivots sont non nuls on a pu calculer A k On écrit alors l ? égalité E ?? Ek ?? ?? A k A sous la forme d ? une égalité entre matrices par blocs L k L k I U k A k A k A k Ç ? k A A ? A avec U k L