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Td ece 2 corrige partiel Traitement du SignalTravaux Dirigés Sujet n Etude fréquentielle des signaux analyse de Fourier corrigé partiel exercices et - Exercice Transformée de Fourier TF d ? un signal porte Calculer la TF du signal porte dé ?ni par x t A r

Traitement du SignalTravaux Dirigés Sujet n Etude fréquentielle des signaux analyse de Fourier corrigé partiel exercices et - Exercice Transformée de Fourier TF d ? un signal porte Calculer la TF du signal porte dé ?ni par x t A rectT t et dont la représentation graphique est A t -T T La représenter ainsi que son spectre d ? amplitude En déduire sa densité spectrale d ? énergie En déduire son énergie totale En déduire sa fonction d ? autocorrélation Retrouver l ? énergie à partir de cette dernière Déduire du la TF de sin c t et la représenter Commentaire Il est important de savoir calculer la TF de la fonction porte car du point de vue de l ? intégration on ne peut trouver plus simple elle est constante sur l ? intervalle d ? intégration De plus la fonction porte se rencontre souvent par exemple pour le fenêtrage d ? un signal à support nonborné de durée in ?nie ou pour la modélisation de la réponse en fréquence d ? un ?ltre passe- bas idéal Solution Le calcul de sa transformée de Fourier donne ? ? X f ? x t e ??j ?ftdt A T e ??j ?ftdt t ?? ? t ??T ?? A j ?f e ?? j ?ft T ??T ?? A j ?f ? ? e ?? j ?fT ?? ej ?fT A j ?f ej ?fT ?? e ?? j ?fT A ?f sin ?fT AT sin c ?Tf En e ?et il faut se rappeler que sin c x sin x x sinc x s ? annule pour x k ? donc X f pour Tf k soit f k T sinc donc X AT sinc x est max pour x ? k ? donc X f est max pour f T kT Remarque pour démontrer sinc il faut passer par le développement de sin x limsin c x x ? lim x ? x ?? x x lim x ? facile di ?culté moyenne di ?cile CReprésentation graphique de X f AT ?? T T La fonction X f étant réelle le spectre d ? amplitude est la valeur absolue de la transformée de Fourier X f ATsin c ?Tf La densité spectrale d ? énergie DSE est égale au carré du spectre ? f X f AT sin c ?Tf L ? énergie totale du signal est dé ?nie dans le domaine temporel par ? E ? x t dt t ?? ? Mais d ? après le théorème de Parseval on peut calculer cette énergie à partir du spectre fréquentiel du signal Soit ? ? E ? x t dt ? X f df t ?? ? f ?? ? ? ? E ? AT sin c ?Tf df A T ? T sin c ?Tf df A T f ?? ? f ?? ? par utilisation de la propriété ? ? sin c d ?? ? Remarque pour répondre à cette question la TF d