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Arithmtq ? - Gérard Lavau - http pagesperso-orange fr lavau index htm Vous avez toute liberté pour télécharger imprimer photocopier ce cours et le di ?user gratuitement Toute di ?usion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sans accord d

? - Gérard Lavau - http pagesperso-orange fr lavau index htm Vous avez toute liberté pour télécharger imprimer photocopier ce cours et le di ?user gratuitement Toute di ?usion à titre onéreux ou utilisation commerciale est interdite sans accord de l'auteur Si vous êtes le gestionnaire d'un site sur Internet vous avez le droit de créer un lien de votre site vers mon site à condition que ce lien soit accessible librement et gratuitement Vous ne pouvez pas télécharger les ?chiers de mon site pour les installer sur le vôtre ENTIERS DENOMBREMENT ET ARITHMETIQUE PLAN I Les entiers Le principe de récurrence Propriétés de La division euclidienne II Combinaisons Dé ?nition ? Formules de récurrence Formule du binôme de Newton III L'anneau Diviseurs communs PGCD Egalité de Bézout Le théorème de Gauss PPCM Les nombres premiers IV L'anneau des polynômes X Algorithme du calcul du PGCD L'égalité de Bézout Le théorème de Gauss Les polynômes irréductibles PPCM Annexe I nombre d'injections de surjections et de partitions Annexe II les axiomes de Peano Annexe III analyse non standard Annexe IV Le numéro INSEE Annexe V Utilisation d'un corps ?ni dans le codage du Minitel Annexe VI Utilisation d'un corps ?ni dans les disques compacts Annexe VII Cryptographie Annexe VIII La recherche des grands nombres premiers le test de Lucas Annexe IX Les nombres parfaits Annexe X Curiosités étranges Problèmes de la factorisation des entiers Un test probabiliste de primalité Les certi ?cats de primalité Le polynôme de Jones Les fractions de Conway et Guy - - CI Les entiers ?? Le principe de récurrence Voici un extrait d'un livre paru en Le langage CAML Weis et Leroy ?? InterEditions Le principe de récurrence s'énonce informellement ainsi si une certaine propriété sur les nombres entiers est vraie pour et si la propriété est vraie pour le successeur d'un nombre dès qu'elle est vraie pour ce nombre alors cette propriété est vraie pour tous les nombres Formellement soit P n une propriété qui dépend d'un entier n Si les phrases suivantes sont vraies P est vraie si P n est vraie alors P n est vraie alors P n est vraie pour tout n Ce principe est en fait évident les deux propriétés demandées par le principe de récurrence permettent facilement de démontrer la propriété P pour toute valeur entière Par exemple supposons que P véri ?e les deux propriétés et qu'on veuille démontrer que P est vraie pour Puisque P est vraie pour elle est vraie pour son successeur Mais puisque P est vraie pour elle est vraie pour son successeur donc elle est vraie pour Il est clair que ce raisonnement se poursuit sans problème pour tout nombre entier ?xé à l'avance Le principe de récurrence est ??il évident ou peut ??il se démontrer Le texte suivant est tiré de la revue Tangente de Décembre n Il a ?rme démontrer le principe de récurrence Or il n'en est rien Il y a une faille dans le raisonnement qui n'échappera pas à