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Cours arithmetique des entiers relatifs 14 1

c Christophe Bertault - MPSI Arithmétique des entiers relatifs Division dans Z Relation de divisibilité Dé ?nition Divisibilité diviseur multiple Soient a b ?? Z On dit que a divise b ou que a est un diviseur de b ou que b est divisible par a ou que b est un multiple de a s ? il existe k ?? Z tel que b ak Cette relation se note a b Théorème Propriétés de la relation de divisibilité Soient a b c d ?? Z i La relation de divisibilité est ré exive et transitive sur Z c ? est même une relation d ? ordre sur N mais elle n ? est pas antisymétrique sur Z car a b et b a ? ?? a b ? ?? a b ou a ??b ii Si d a et si d b alors d au bv pour tous u v ?? Z iii Si a b et si c d alors ac bd En particulier si a b alors ak bk pour tout k ?? N Démonstration i Déjà prouvé au chapitre Relations d ? ordre ? ii Si d a et d b alors a dk et b dl pour certains k l ?? Z donc au bv d ku vl avec ku vl ?? Z pour tous u v ?? Z donc en ?n d au bv iii Si a b et c d alors b ak et d cl pour certains k l ?? Z donc bd ac kl avec kl ?? Z bref ac bd Relation de congruence modulo un entier Dé ?nition Relation de congruence modulo un entier Soient n ?? N et a b ?? Z On dit que a est congru à b modulo n si n b ?? a i e s ? il existe k ?? Z tel que b a kn Cette relation se note a ?? b n Explication Les relations de congruence généralisent la relation de divisibilité n a ? ?? a ?? n Théorème Propriétés de la relation de congruence Soient a a ?? b b ?? ?? Z et m n ?? N i Relation d ? équivalence La relation ?? n est ré exive symétrique et transitive ii Somme Si a ?? b n et si a ?? ?? b ?? n alors a a ?? ?? b b ?? n iii Produit Si a ?? b n et si a ?? ?? b ?? n alors aa ?? ?? bb ?? n En particulier si a ?? b n alors ak ?? bk n pour tout k ?? N iv Multiplication division par un entier non nul Si m a ?? b n ? ?? am ?? bm mn Démonstration i Ré exivité et symétrie sont immédiates montrons seulement la transitivité Soient a b c ?? Z Si a ?? b n et b ?? c n alors n b ?? a et n c ?? b donc par somme n c ?? a