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Cours arithmetique des entiers relatifs pdf

c Christophe Bertault - MPSI Arithmétique des entiers relatifs Division dans Z Relation de divisibilité Dé ?nition Divisibilité diviseur multiple Soient a b ?? Z On dit que a divise b ou que a est un diviseur de b ou que b est un multiple de a s ? il existe k ?? Z tel que b ak cette relation entre a et b se note a b Théorème Propriétés de la relation de divisibilité Soient a b c d ?? Z i La relation de divisibilité sur Z est ré exive et transitive elle n ? est cependant pas antisymétrique puisque a b et b a ? ?? a b ? ?? a b ou a ??b En revanche sa restriction à N l ? est c ? est une relation d ? ordre ii Combinaisons linéaires Si d a et si d b alors d au bv pour tous u v ?? Z iii Produit Si a b et si c d alors ac bd En particulier si a b alors ak bk pour tout k ?? N iv Multiplication division par un entier Si d a b ? ?? ad bd Démonstration i La ré exivité et la transitivité de ont été démontrées dans le chapitre sur les relations d ? ordre Contentonsnous de montrer l ? équivalence relative au défaut d ? antisymétrie de L ? une des deux implications est triviale si a b i e a b ou a ??b il est clair que a b et que b a Réciproquement supposons qu ? on ait a b et b a Alors il existe k l ?? Z tels que b ak et a bl Du coup b bkl Deux cas se présentent alors si b alors a bl et on a donc bien a b si au contraire b alors kl et donc puisque k et l sont entiers on a soit k l soit k l ?? i e a b ou a ??b i e a b comme voulu ii Supposons qu ? on ait d a et d b Il existe donc k l ?? Z tels que a dk et b dl Alors au bv d ku vl avec ku vl ?? Z pour tous u v ?? Z et donc d au bv comme annoncé iv Supposons d Si a b alors comme par ailleurs d d l ? assertion iii a ?rme que ad bd Réciproquement supposons que ad bd Il existe alors k ?? Z tel que bd kad et donc tel que b ak Ceci montre bien que a b Relation de congruence Dé ?nition Congruence modulo un entier Soient n ?? N et a b ?? Z On dit que a est congru à b modulo n si n b ?? a i e s ? il existe k ?? Z tel que b a kn cette relation entre a et b se note a ?? b mod n Explication La relation de congruence