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Cours de proba stats Universit ?e cheikh Anta Diop de Dakar Facult ?e des Sciences et Techniques Departement de Math ?ematiques et Informatique Cours de Proba-Stats Abdoulaye Maiga abdoulaye maiga gmail com CTable des mati eres Introduction I Probabilit ?

Universit ?e cheikh Anta Diop de Dakar Facult ?e des Sciences et Techniques Departement de Math ?ematiques et Informatique Cours de Proba-Stats Abdoulaye Maiga abdoulaye maiga gmail com CTable des mati eres Introduction I Probabilit ?e Analyse Combinatoire I Rappel sur la th ?eorie des ensembles I Rappel CARDINALITE II DENOMBREMENNT II Les arrangements II Les permutations II Les combinaisons III PROPRIE ?TE ?S DES COMBINAISON CPremi ere partie Probabilit ?e CChapitre Analyse Combinatoire INTRODUCTION Un systeme de communication est compose de n entennes identiques alignees Ce systeme ne pourra alors capter de signal incident il sera quali ?e de fonctionnel qu ? aussi longtemps que deux entennes consecutives ne seront pas defectueuses Autrement dit le systeme est quali ?e de fonctionnel s ? il ya pas deux entennes consecutives defectueuses Question si on decouvre m dans n entennes sont defectueuses quel est la probabilite que ce systeme soit fonctionnel Exemple Pour n et m Les di ?erentes con ?gurations sont Solution La probabilite est prob On pourrait de maniere similaire calculer la probabilite que le systeme fonctionne pour des valeurs quelconque de m et n PROBLEMATIQUE Il faudrait calculer le nombre de con ?guration qui maintiennent le systeme fonctionnel et le diviser par les con ?gurations possibles IL est souhaitable de disposer les methodes e ?caces pour denombrer tes di ?erentes situations pouvant se presenter Par convention on appelle analyse combinatoire la theorie mathematique de denombrement C Analyse Combinatoire I Rappel sur la th ?eorie des ensembles I Rappel CARDINALITE D ?e ?nition ensemble ?ni Un ensemble est dit ?ni s ? il contient ou n ?el ?ements D ?e ?nition ensemble d ?enombrable Un ensemble est dit d ?enombrable s ? il est en bijection avec N ces ?el ?ements peut etre indexes par des entiers D ?e ?nition Un ensemble est dit au plus d ?enombrable s ? il est ?ni ou d ?enombrable D ?e ?nition Soit E un ensemble ?ni Le cardinal de E note CardpEq ou E est le nombre de E EXEMPLE E ?? t u cardpEq ?? Proposition Soient E un ensemble ?ni et A B et C parties de E A E ? CardpAq CardpEq CardpA Y Bq ?? CardpAq CardpBq ? CardpA X Bq En particulier si A X B ?? m alors CardpA Y Bq ?? CardpAq CardpBq CardpA Bq ?? CardpAq ? CardpA X Bq CardpA ? Bq ?? CardpAq ? CardpBq Et de mani ere g ?en ?erale n n ? ? Cardp Aiq ?? CardpAiq i ?? i ?? Abdoulaye Maiga abdoulaye maiga gmail com C Analyse Combinatoire Proposition FORMULE DE POINCARE ? OU DES CRIBLES ? CardpYin ?? Aiq ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? n i ?? CardpAiq ? i ?j n CardpAi X Aj q i ?j ?l n CardpAi X Aj X Alq p ? qn CardpXin ?? Aiq En particulier pour n on a CardpA Y A Y A q ?? CardpA q CardpA q