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Tous les sujets et corrigés des Bac Comoriens sont disponibles sur le site internet https lechaya com Exercice points Partie A Question de cours Énoncer le théorème de Bézout Énoncer le théorème de Gauss Donner la dé ?nition de la congruence modulo n dans Z n étant un entier naturel non nul Partie B Résolution d ? un système n ?? Dans cette partie on se propose de résoudre dans Z le système S n ?? a Justi ?er pourquoi peut-on a ?rmer qu ? il existe un couple u v d ? entiers relatifs tel que u v on ne demande pas dans cette question de donner un exemple de couple b Sachant que u ?? v et que v ?? u véri ?er que pour un tel couple l ? entier N ? v ? u est une solution de S Soit n une solution du système S a Montrer que le système S et n ??n sont équivalents n ??n b Démontrer que le système n ??n n ??n équivaut à n ??n ? a Utiliser l ? algorithme d ? Euclide en détaillant les divers étapes du calcul pour trouver un couple u v d ? entiers relatifs solutions de l ? équation u v b Calculer la valeur de N correspondante au couple u v ainsi obtenu c Déterminer l ? ensemble des solutions du système S On pourrait utiliser si l ? on veut la question b On considère un entier naturel n par ?? ? Quel est le reste r de la division euclidienne de n par Exercice points Le plan est muni d ? un repère orthonormé direct O i j Unité graphique cm On considère une similitude directe du plan F de centre de coordonnées de rapport ?? et d ? angle de mesure ? a Déterminer une écriture complexe de F En déduire son expression analytique b Placer dans le repère les points A B et C d ? a ?xes respectives - i et - i c Déterminer les a ?xes des points A ? B ? et C ? images respectives par F des points A B et C Cd Calculer ZB ??ZC ZA ??ZC o? ZA ZB et ZC sont les a ?xes des points A ? B ? et C ? respective- ment En déduire la nature du triangle A ? B ? C ? Sois M un point du plan distinct de d ? a ?xe Z et M ? d ? a ?xe Z ? son image par F a Montrer que pour tout Z Z ?? Z ??i ?? Z b En déduire que pour tout point M d ? image M ? par F le triangle M M est rectangle isocèle en M On considère la courbe ? d ? équation cartésienne x ?? y x y ?? a Quelle est la nature de ? Justi ?er la réponse b Quelles sont les a ?xes des sommets de ? c Déterminer les