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Suite devoir de controle 2015 maths correct

Lycée pilote de Tunis Un exercice sur les suites Terminales maths Mr Ben Regaya A Eléments de corrections www ben-regaya net Exercice devoir de contrôle - ? ?? ?? Soit ?? ?? ?? ?? On considère la suite ??un ?? dé ?nie par u ? et un ? ? ? ?? ?? un Partie A- Dans cette partie ?? ? Montrer que la suite ??un ?? est croissante Montrer que pour tout n ?? n ?? ? un ? n En déduire la limite de ??un ?? Pour tout n ?? on pose vn ? un ? ?? un Montrer que pour tout n ?? un ? ? vn ? un En déduire la limite de ??vn ?? ? Soit sn ? n k ? uk o? n ?? ? a Montrer que pour tout n ?? sn ? n En déduire la limite de ?? sn ?? b Montrer que pour tout n ?? ? sn ? un ? ? sn En déduire la limite de ? ?? ?? un sn ? ? ? Partie B- Dans cette partie ?? ? ? ?? a Montrer que pour tout n ?? ? un ?? b Etudier la monotonie de ??un ?? en déduire que ??un ?? est convergente et calculer sa limite ?? ?? Montrer que pour tout n ?? un ? ?? ?? ?? ?? n ? ?? ?? Pour n n ?? on pose wn ? k ? uk Calculer la limite de ?? wn ?? et de ? ?? ?? wn n ? ? ? CExercice devoir de contrôle - le corrigé Remarquons que la suite ??un ?? est a termes positifs en e ?et u ? ? u ? et si un ? alors ?? ?? un ? ? ? ?? ?? un ? Partie A- Dans cette partie ?? ? et dans ce cas un ? ? ? un un ? ?? un ? ? un ?? un ? ? ? un ? un un ? ? un donc la suite ??un ?? est croissante Montrons par récurrence que pour tout n ?? n ?? ? un ? n Pour n u ? ? u ? ? ? u ? vrai pour n Supposons pour n entier naturel non nul n ?? ? un ? n et démontrons que n ? un ? ? n ? On a n ?? ? un ? n ?? n ?? ? un ? n ?? n ? ? un ? n ? ?? n ? ? un ? n ? ?? n ? un ? ? n ? Conclusion Pour tout n ?? n ?? ? un ? n Déduction On a lim n ? n ?? ? ? et pour tout n ?? un ? n ?? Donc par comparaison lim n ? un ? ? vn ? un ? ?? un Montrons que pour tout n ?? un ? ? vn ? un On a vn ? un ? ?? un ? un ? ? un