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Ts spe controle 23 1 2013 TS Contrôle du mercredi janvier spécialité minutes ? Écrire très lisiblement sans rature et sans utiliser d ? abréviations ? Ne rien écrire ne rien surligner sur l ? énoncé ? Encadrer tous les résultats en rouge à la règle I poin

TS Contrôle du mercredi janvier spécialité minutes ? Écrire très lisiblement sans rature et sans utiliser d ? abréviations ? Ne rien écrire ne rien surligner sur l ? énoncé ? Encadrer tous les résultats en rouge à la règle I points On considère l ? équation diophantienne x y E avec x y ?? Z Recopier et compléter sans justi ?er la phrase Le couple ? ? est une solution particulière de E ? Déterminer en rédigeant complètement toutes les solutions de E II points Que peut-on dire de l ? a ?rmation Le PGCD de deux nombres entiers naturels pairs est pair ? Justi ?er la réponse de la manière la plus rigoureuse possible en faisant une démonstration III points Soit n un entier naturel ?xé On pose a n et b n Calculer a ?? b Que peut-on en déduire IV points a Déterminer le PGCD de et de Répondre en donnant la valeur sans détailler les calculs b En déduire tous les diviseurs communs positifs à et Soit a un entier naturel non nul En divisant par a il reste et en divisant par a il reste Déterminer la valeur de a V points Démontrer que pour tout entier naturel n la fraction n n est irréductible CCorrigé du contrôle du - - I x y E avec x y ?? Z Le couple ?? est une solution particulière de l ? équation E Déterminons toutes les solutions de E E ?? x y ? ? ?? ?? x ?? ?? y E ?? On en déduit que ?? y Or et ?? sont premiers entre eux Donc d ? après le théorème de Gauss y Il existe donc k ?? Z tel que y k soit y ?? k On remplace y par k dans E ?? On obtient x ?? ?? ? k D ? o? x ?? k On véri ?e que le couple ?? k ?? k est solution de E Conclusion L ? ensemble des solutions de E est S ?? k k ?? k ?? Z II L ? a ?rmation Le PGCD de deux nombres entiers naturels pairs est pair ? est vraie En e ?et soit a et b deux entiers naturels pairs ère méthode On peut écrire a a ?? et b b ?? o? a ?? et b ?? sont des entiers naturels Par suite PGCD a b PGCD a ?? b ?? PGCD a ?? b ?? On en déduit que PGCD a b est pair e méthode est un diviseur commun à a et b divise donc le PGCD de a et b Par conséquent d est pair CIII n ??N a n b n a ?? b n ?? n a ?? b donc d ? après le théorème de Bezout on peut dire que a et b sont premiers entre eux IV a Déterminons le PGCD de et de PGCD b Déduisons-en tous les diviseurs communs positifs à et Les diviseurs communs