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Borne sup erieure borne inf erieure

Base raisonn ?ee d ? exercices de math ?ematiques Braise E ?quations di ? ?erentielles El ?ement de cours des exercices Borne sup ?erieure borne inf ?erieure Si besoin on pourra consulter le vocabulaire de base qui est rappel ?e en ?n de page Borne sup ?erieure borne inf ?erieure De ? ?nition Borne sup ?erieure Si l ? ensemble des majorants d ? une partie A de R admet un plus petit ?el ?ement M on dit que M est la borne sup ?erieure de A et on note M sup A Cette borne sup ?erieure est unique D ?e ?nition Borne sup ?erieure d ? une fonction Pour une fonction f d ?e ?nie sur un intervalle I de R on d ?e ?nit lorsqu ? elle existe la borne sup ?erieure de f sur I par sup f sup f x x ?? I I De ? ?nition Borne inf ?erieure Si l ? ensemble des minorants d ? une partie A de R admet un plus grand ?el ?ement m on dit que m est la borne inf ?erieure de A et on note m inf A Cette borne inf ?erieure est unique Propri ?et ?e de la borne sup ?erieure The ?or eme Propri ?et ?e de la borne sup ?erieure Toute partie non vide et major ?ee dans R admet une borne sup ?erieure CBase raisonn ?ee d ? exercices de math ?ematiques Braise E ?quations di ? ?erentielles Propri ?et ?e Caract ?erisation de la borne sup ?erieure Soit A une partie de R non vide et major ?ee La borne sup ?erieure de A sup A est l ? unique nombre r ?eel tel que i Si a ?? A alors a ? sup A sup A est un majorant de A ii Pour tout nombre x sup A il existe un nombre a ?? A tel que x a c ? est le plus petit des majorants On d ?eduit de ii une formulation tr es utile d ? une propri ?et ?e de la borne sup ?erieure ?? ??a ?? A sup A ?? a sup A Nous laissons au lecteur le soin de formuler une propri ?et ?e analogue pour la borne inf ?erieure The ?oreme Propri ?et ?e de la borne sup ?erieure d ? une fonction Si f est une fonctiona valeurs r ?eelles continue sur un intervalle a b ferm ?e born ?e alors elle est born ?ee et atteint ses bornes en particulier il existe c ?? a b tel que sup f x f c a b Exemples ?? Si une partie admet un plus grand ?el ?ement c ? est sa borne sup ?erieure par exemple sup ?? Si a et b sont deux r ?eels tels que a b sup a b b ?? Un exemple de borne sup ?erieure pour une fonction ? sup arctan ? sup arctan x x ?? ? On remarquera que cette borne sup ?erieure n ?