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Chapitre 30 1 P Dans tout ce chapitre on ne considère que des espaces vectoriels sur R Le but principal est de généraliser la notion de produit scalaire que vous avez déjà rencontrée dans R ou dans R Rappelons que le produit scalaire de deux vecteurs est

P Dans tout ce chapitre on ne considère que des espaces vectoriels sur R Le but principal est de généraliser la notion de produit scalaire que vous avez déjà rencontrée dans R ou dans R Rappelons que le produit scalaire de deux vecteurs est un réel un scalaire et pas un troisième vecteur Une fois la notion de produit scalaire généralisée nous en déduirons une notion de norme et une notion d ? orthogonalité P Formes bilinéaires symétriques Soit E un R-espace vectoriel Rappelons qu ? une application E ? E ? R est une forme bilinéaire si pour tout ?? E les applications E x ?? ? ?? ? R x et E x ?? ? ?? ? R x sont des formes linéaires sur E Dé ?nition ?? Une forme bilinéaire E ? E ? R est dite symétrique si ?? x ?? E x x Ce qui explique la terminologie Exemples Rn ? Rn ?? ? R x xn n ?? ? n xi i est symétrique car i n n x xn n xi i ixi n x xn i i Si B e e est une base de R alors l ? application symétrique car detB e e ?? detB e e detB R ? R n ? est pas Remarques Pour véri ?er que E ? E ? R est bilinéaire symétrique il su t de véri ?er que ? ?? x z ?? E ?? ? ?? R ?x z ? x z z est linéaire par rapport à sa première variable ? ?? x ?? E x x est symétrique En e et on a alors ?? x z ?? E x ? z ? z x ? x z x ? x x z Donc est nécessairement linéaire par rapport à sa seconde variable Plus généralement on pourrait à l ? image de ce qui a été fait pour les formes n-linéaires Ce qui légitime l ? appellation antisymétrique Méthode On procédera toujours ainsi pour prouver qu ? une application est bilinéaire symétrique on commencera par prouver la symétrie puis on prouvera la linéarité par rapport à l ? une des deux variables On en déduira alors automatiquement la bilinéarité C C P dé ?nir la notion de forme n-linéaire symétrique sur En une telle forme étant invariante par échange de deux vecteurs Il est alors facile de prouver qu ? il s ? agit alors d ? une application invariante par toute permutation des vecteurs de En Car les transpositions engendrent le groupe Sn Exemples E ? E ?? ? R Si E C a b R alors f ?? ? b f t t dt est une forme bili- néaire symétrique car a ?? f h ?? C a b R ?? ? ?? R b ? f t t h t dt ? b f t h t dt b t h t dt a a a b b et ??f ?? C a b R f t