Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Corrige serie1 2 Module d ? analyse Semestre Corrig ?e S ?erie Applications ensembles d ?enombrabilit ?e tribus et mesures Exercice Soit E un ensemble et A une partie non vide de E La fonction est-elle injective surjective f P E ? P E X ? Xc On consid ere

Module d ? analyse Semestre Corrig ?e S ?erie Applications ensembles d ?enombrabilit ?e tribus et mesures Exercice Soit E un ensemble et A une partie non vide de E La fonction est-elle injective surjective f P E ? P E X ? Xc On consid ere la fonction g P E ? P E X ? A ?? X Montrer que si A E alors g n ? est ni injective ni surjective Montrer que g P E P A Solution ? Soient X Y ?? P E tels que f X f Y Donc Xc Y c ?? Xc c Y c c ?? X Y D ? ouf est injective ? Tout Y ?? P E admet un ant ?ec ?edent X Y c ?? P E D ? ou f est surjective ? On a A E et g A g E A Donc g n ? est pas injective ? E n ? admet pas d ? ant ?ec ?edents car sinon A E Donc g n ? est pas surjective Il est clair que g P E ? P A R ?eciproquement soit B ?? P A Donc B ? A et ensuite B g B ?? g P E D ? ou g P E P A Exercice Montrer que N est d ?enombrable Montrer que le produit de deux ensembles d ?enombrables est d ?enombrable D ?eduire que Np p ?? N ? est d ?enombrable Solution On consid ere l ? application N ? N n m ? n m Alors par le th ?eoreme fondamental de l ? arithm ?etique est injective D ? ou N est d ?enombrable Soient E et E deux ensembles d ?enombrables Il existe ? E ? N et ? E ? N injectives Il en r ?esulte que ? E ? E ? N x x ? ? x ? x est injective Donc ? E ? E ? N est injective D ? ou E ? E est d ?enombrable En utilisant et la r ?ecurrence sur p on obtient que Np est d ?enombrable CExercice Soient a b ?? R tels que a b D ?eterminer les ensembles suivants a a n n ? a b n n ? n ? n ? x x x ?? Solution a a n ? n ? a b n a b n ? n ? ? n ? x x x ?? Exercice Soit un ensemble et soient A A des parties de On suppose dans cette question que A ? A ? ? An ? An ? Posons pour tout n ? Bn An An ?? Montrer que les ensembles Bn sont deux a deux disjoints c Montrer que Acn An n ? n ? c Montrer que Acn An n ? n ? Solution Soient n m ?? N ? n m Donc n ? m ?? et Am c ?? ? Anc D ? autre part Bn ? An et Bm