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D 3 corrige ATS - Devoir de mathématiques n Devoir de mathématiques n Maison Corrigé Exercice a Si ? R est le vecteur nul alors ? V M ? G pour tout point M donc V ? est une application constante b Soient les points M et N quelconques ? V M ? G ? R ?? ? A

ATS - Devoir de mathématiques n Devoir de mathématiques n Maison Corrigé Exercice a Si ? R est le vecteur nul alors ? V M ? G pour tout point M donc V ? est une application constante b Soient les points M et N quelconques ? V M ? G ? R ?? ? A M ? G ? R ?? ? A N ? N M ? V M ? V N ? M N ?? ? R C Q F D donc ? V M ? G ? R ?? ? A N ? R ?? ? N M donc c Soient les points M et N quelconques ? M N ? V M ? M N ? V N ? M N ?? ? R ? M N ? V N ? M N ? M N ?? ? R Or par dé ?nition ? M N ?? ? R est orthogonal à ? M N donc ? M N ? M N ?? ? R ? donc ? M N ? V M ? M N ? V N C Q F D Le terme équiprojectif ? peut se comprendre dans la mesure o? le produit scalaire ? M N ? V M fait intervenir la projection orthogonale du vecteur ? V M sur la direction de ? M N Donc la propriété démontrée signi ?e que les moments en M et en N se projette de la même façon sur la direction de ? M N d Avec les notations de l ? énoncé on a ? V M ? G ? G ? R ?? ? A M Comme les vecteurs ? R ?? ? A M et ? G sont orthogonaux à ? R et que ? G est colinéaire à ? R ? V M est colinéaire à ? R si et seulement si ? G ? R ?? ? A M ? soit ? G ? A M ?? ? R puisque le produit vectoriel est antisymétrique d Implication directe Vu le d si ? V M est colinéaire à ? R alors ? G ? A M ?? ? R donc ? R ?? ? G ? R ?? ? A M ?? ? R donc ? R ?? ? G ? R ? A M ?? ? R ? A M ? R donc ? A M ? R ? R ?? ? G ? R ? A M ? R ? R donc il existe un réel k tel que ? A M ? R ? R ?? ? G k ? R Réciproque S ? il existe un réel k tel que ? A M ? R ? R ?? ? G k ? R alors ? R ?? ? A M ? R ?? ? R ? R ?? ? G k ? R donc ? R ?? ? A M ? R ? R ? G ? R ?? ? R ? G puisque