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CPA Marrakech - Devoir Libre -Les espaces Lp- Construction et compl ?etude Soit pX q un espace mesur ?e et f X ? C mesurable Pour p V on d ?e ?nit ? f p f pd p f V inftM ? f Mp p u X en convenant que p Vq p V et inf r V On d ?e ?nit L pp q tf X ? C mesurable f p Vu L Vp q tf X ? C mesurable f V Vu Exercice Soit p r Vs pour quelles valeurs de a b R a-t-on p q fa b x p q xa ln x b re Vrpxq L ppRq On traitera les di ? ?erents cas qui se pr ?esentent et on pourra utiliser pour certains d ? entre eux d dt ln ? ? t ? ? t ln ? t d plnpln tqq dt t ln t s r Remarque Dans le cas d ? une int ?egration sur on se ram ene au cas pr ?ec ?edent par inversion de la variable ? Th ?eor eme In ?egalit ?e de Ho ?lder Soient f g X R mesurables et p q tels que p q Alors f g f p g q Si ces quantit ?es sont ?nies il y a ?egalit ?e si et seulement si f p ? g q pour un certain ? R Exercice In ?egalit ?e d ? interpolation Soit p q V et f L pp q L qp q Montrer que pour tout r sp qr f L rp q et f r f p f ? q s r Ou est d ?e ?ni par r p ? q ? Soit f R R mesurable Que peut-on dire de la nature g ?eom ?etrique et topologique de l ? ensemble tp r V r f L ppRqu Th ?eor eme In ?egalit ?e de Minkowski Soit p r V r f g L pp q Alors f g L pp q et f g p f p g p De plus ? si p ? il y a ?egalit ?e si et seulement si g ? p p ou f ?g pour un certain ? R ? si p il y a ?egalit ?e si et seulement si f g ? p p p q L ? in ?egalit ?e de Minkowski prouve entre autre que L p est un espace vectoriel Il faut travailler encore un peu plus pour obtenir la structure d ? EVN CCPA Marrakech - p n ? est pas une norme sur L pp q On d ?e ?nit donc une relation d ? ?equivalence sur L p f g ? ? f g ? p p Cette relation est compatible avec l ? addition et la multiplication par un scalaire on peut donc munir l ? ensemble des classes d ? ?equivalence Lpp q L pp q d ? une structure de C-espace vectoriel Comme f Lpp q et cela