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Dm1 2013 ?? DM N ?? AUTOUR D ? UN THÉORÈME DE TCHEBYCHEV DM N pour le Autour d ? un théorème de Tchebychev concernant la répartition des nombres premiers PSI - Introduction Étant donné un entier naturel n on considère ? n le nombre de nombres premiers com

?? DM N ?? AUTOUR D ? UN THÉORÈME DE TCHEBYCHEV DM N pour le Autour d ? un théorème de Tchebychev concernant la répartition des nombres premiers PSI - Introduction Étant donné un entier naturel n on considère ? n le nombre de nombres premiers compris entre et n Ce sujet s ? intéresse au comportement de la suite ? n n ?? Il est composé de deux grandes parties A et B La partie A vise à établir l ? encadrement suivant ln n ln n ? n e n ln n valable pour tout n Elle est composée de deux sous-parties A I et A II consacrées respectivement à la minoration et à la majoration annoncées Ce n ln n genre d ? encadrement suggère l ? existence d ? un lien asymptotique fort entre les suites La partie B s ? intéresse à cette question puisque son objectif principal est de montrer n ? n n et le résultat suivant Théorème Tchebychev S ? il existe un réel c tel que ? n ?? c n ? ? n ln n alors nécessairement c Elle est composée de quatre sous-parties B I B II B III et B IV C ? est dans la partie B III qu ? on établit le théorème annoncé La preuve qu ? on en propose repose sur l ? étude du comportement asymptotique de la suite Cette étude est réalisée au début de la partie B III Les parties B I et B II sont consa- p premier n p n crées à l ? établissement de formules importantes pour la suite Dans la partie B I on établit une formule due à Legendre qui donne l ? expression de la valuation p -adique de n Dans la partie B II on démontre un théorème de Mertens qui précise le comportement asymptotique de la suite ln p La par- p premier n p n tie B IV est une application de la formule asymptotique trouvée dans la partie B III On y étudie la densité de l ? ensemble des entiers possédant de grands facteurs premiers À la ?n du sujet une note documentaire met en perspective d ? un point de vue historique le théorème de Tchebychev démontré ici Sa lecture n ? est pas essentielle au bon traitement du sujet Les parties de ce problème ne sont pas indépendantes entre elles NOTATIONS ET RAPPELS ? On note P l ? ensemble des nombres premiers ? Si E est un ensemble on note E le cardinal de cet ensemble c ? est-à-dire le nombre d ? éléments de E ? Si x est un nombre réel on note ?x sa partie entière c ? est-à-dire le plus grand entier inférieur ou égal à x autrement dit ?x est l ? unique élément de véri ?ant ?x x ?x ? On rappelle que si a et b sont deux nombres entiers tels que b a le coef ?cient binomial a